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Calculadora de secciones cónicas — identifica Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Q: ¿Cómo se identifica una cónica a partir de su ecuación?

Calcula B² − 4AC. Si es negativo es una elipse (circunferencia si A = C y B = 0); si es cero, una parábola; si es positivo, una hipérbola, salvo que sea degenerada.

Q: ¿Qué es una cónica degenerada?

Una ecuación con forma de cónica cuya gráfica es un solo punto, una o dos rectas, o nada, como x² + y² = 0 o x² − y² = 0. En esos casos el determinante 3 × 3 vale 0.

Q: ¿Qué hace el término xy?

Un B distinto de cero rota la cónica. Los ejes giran un ángulo θ con tan 2θ = B/(A − C); al rotar las coordenadas ese ángulo desaparece el término xy.

Q: ¿Cómo paso una cónica a su forma canónica?

Con B = 0, agrupa los términos en x y en y, completa el cuadrado en cada grupo, pasa la constante a la derecha y divide para que el lado derecho valga 1 (elipse o hipérbola). En la parábola, despeja la variable al cuadrado.

Q: ¿La circunferencia es un tipo de elipse?

Sí: es una elipse con los dos semiejes iguales y excentricidad 0. En la ecuación general eso significa A = C y B = 0.

Identifica la cónica Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (circunferencia, elipse, parábola, hipérbola o degenerada) con el discriminante, centro o vértice, ejes, excentricidad, rotación y forma canónica.

A (x²)

B (xy)

C (y²)

D (x)

E (y)

F (término independiente)

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Cómo funciona

Discriminante Δ = B² − 4AC: Δ < 0 elipse (circunferencia si A = C y B = 0) · Δ = 0 parábola · Δ > 0 hipérbola · degenerada si det[[A, B/2, D/2], [B/2, C, E/2], [D/2, E/2, F]] = 0 · centro: 2Ah + Bk + D = 0, Bh + 2Ck + E = 0 · rotación θ = ½·atan2(B, A − C)

Toda ecuación de segundo grado en x e y describe una sección cónica, y el discriminante B² − 4AC indica cuál es, igual que en las ecuaciones cuadráticas. El determinante 3 × 3 detecta los casos degenerados (un punto, un par de rectas o ningún punto real). Para una elipse o hipérbola la calculadora halla el centro, traslada el origen allí y usa los valores propios de [[A, B/2], [B/2, C]] para obtener los semiejes aunque la cónica esté rotada; si los ejes son paralelos a los de coordenadas (B = 0) también completa cuadrados para dar la forma canónica (OpenStax Precálculo §10.4).

Ejemplo resuelto

4x² + 9y² − 16x + 18y − 11 = 0: B² − 4AC = 0 − 4·4·9 = −144 < 0 y A ≠ C, así que es una Elipse. Completando cuadrados: 4(x − 2)² − 16 + 9(y + 1)² − 9 = 11, o sea 4(x − 2)² + 9(y + 1)² = 36, es decir (x − 2)²/9 + (y + 1)²/4 = 1. Centro (2, −1), a = 3, b = 2, excentricidad √5/3 ≈ 0.745356.

Fuentes: OpenStax Precalculus 2e — 10.4 Rotation of Axes · Wolfram MathWorld — Conic Section

Preguntas frecuentes

¿Cómo se identifica una cónica a partir de su ecuación?

Calcula B² − 4AC. Si es negativo es una elipse (circunferencia si A = C y B = 0); si es cero, una parábola; si es positivo, una hipérbola, salvo que sea degenerada.

¿Qué es una cónica degenerada?

Una ecuación con forma de cónica cuya gráfica es un solo punto, una o dos rectas, o nada, como x² + y² = 0 o x² − y² = 0. En esos casos el determinante 3 × 3 vale 0.

¿Qué hace el término xy?

Un B distinto de cero rota la cónica. Los ejes giran un ángulo θ con tan 2θ = B/(A − C); al rotar las coordenadas ese ángulo desaparece el término xy.

¿Cómo paso una cónica a su forma canónica?

Con B = 0, agrupa los términos en x y en y, completa el cuadrado en cada grupo, pasa la constante a la derecha y divide para que el lado derecho valga 1 (elipse o hipérbola). En la parábola, despeja la variable al cuadrado.

¿La circunferencia es un tipo de elipse?

Sí: es una elipse con los dos semiejes iguales y excentricidad 0. En la ecuación general eso significa A = C y B = 0.

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