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Calculadora de la hipérbola: focos, vértices y asíntotas

Q: ¿Cómo escribo 16x² − 9y² = 144?

Divide entre 144: x²/9 − y²/16 = 1. Entonces a = 3, b = 4, centro (0, 0), y abre hacia la izquierda y la derecha.

A partir del centro, a, b y la orientación de una hipérbola obtén su ecuación ordinaria, vértices, focos, ecuaciones de las asíntotas, excentricidad, lado recto y directrices.

Centro x (h)

Centro y (k)

a (bajo el término positivo)

b (bajo el término negativo)

Abre hacia

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Cómo funciona

(x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 · c² = a² + b² · vértices (h ± a, k) · focos (h ± c, k) · asíntotas y − k = ±(b/a)(x − h) · e = c/a > 1 (en la hipérbola vertical se intercambian x e y)

Una hipérbola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante e igual a 2a. En la ecuación ordinaria, el término al cuadrado que es positivo decide la orientación: si el término en x va primero, las ramas abren hacia la izquierda y la derecha. Los vértices están a a unidades del centro, los focos a c unidades con c² = a² + b² (con signo más, a diferencia de la elipse), y las ramas se acercan a dos asíntotas que pasan por el centro con pendientes ±b/a (±a/b en la hipérbola vertical). La excentricidad c/a siempre es mayor que 1.

Ejemplo resuelto

Para (x − 1)²/9 − (y − 2)²/16 = 1: centro (1, 2), a = 3 y b = 4, así que c = √(9 + 16) = 5. Los vértices son (−2, 2); (4, 2) y los focos (−4, 2); (6, 2). Las asíntotas y − 2 = ±(4/3)(x − 1) son y = (4/3)x + 2/3 y y = −(4/3)x + 10/3. La excentricidad es 5/3 ≈ 1.666667 y el lado recto 2 × 16/3 ≈ 10.6667.

Fuentes: Hyperbola — Wikipedia · OpenStax Precalculus 2e — The hyperbola

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé hacia dónde abre una hipérbola?

Fíjate en el término positivo. Si (x − h)² va con signo más, abre hacia la izquierda y la derecha; si el positivo es (y − k)², abre hacia arriba y abajo. A diferencia de la elipse, a no tiene por qué ser mayor que b.

¿Cómo se obtienen las asíntotas?

Cambia el 1 de la derecha por 0 y despeja: (x − h)²/a² = (y − k)²/b² da y − k = ±(b/a)(x − h). En la hipérbola vertical las pendientes son ±a/b.

¿Por qué aquí c² = a² + b² y en la elipse a² − b²?

En la hipérbola los focos quedan fuera de los vértices, así que c > a, y la definición con la diferencia de distancias lleva a c² = a² + b². En la elipse los focos están dentro, por lo que c < a.

¿Cómo escribo 16x² − 9y² = 144?

Divide entre 144: x²/9 − y²/16 = 1. Entonces a = 3, b = 4, centro (0, 0), y abre hacia la izquierda y la derecha.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.