Calculadora de suma de cuadrados: 1² + 2² + … + n² con fórmula
Calcula la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales con la fórmula n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6, y obtén también el cuadrado medio.
Cómo funciona
1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6 · Cuadrado medio = suma ÷ n
La suma de los primeros n cuadrados tiene una fórmula cerrada, n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6, así que no hace falta sumar uno por uno. Se demuestra por inducción y crece aproximadamente como n³ ÷ 3, mucho más rápido que la suma de los enteros. Aparece en la varianza de un conjunto de números consecutivos y en el momento de inercia de masas igualmente espaciadas. El cuadrado medio es la suma dividida entre n, es decir, el promedio de los cuadrados.
Ejemplo resuelto
Para n = 10: 10 × 11 × 21 ÷ 6 = 2,310 ÷ 6 = 385. Si sumas a mano 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 obtienes lo mismo, 385, y el cuadrado medio es 385 ÷ 10 = 38.5.
Fuentes: Square pyramidal number — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la suma de cuadrados?
Para los primeros n números naturales es n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6. Con n = 5 da 5 × 6 × 11 ÷ 6 = 55, igual que 1 + 4 + 9 + 16 + 25.
¿Es la misma suma de cuadrados de la estadística?
No exactamente. En estadística suele llamarse así a la suma de las desviaciones al cuadrado respecto a la media. Aquí se suman los cuadrados de los números 1 a n, que es una identidad algebraica.
¿Qué tan rápido crece la suma?
Más o menos como n³ ÷ 3, así que si duplicas n la suma se multiplica por casi ocho. Por ejemplo, de n = 10 (385) a n = 20 (2,870) crece unas 7.5 veces.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.