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Calculadora del teorema de Chebyshev: proporción mínima de datos a k desviaciones de la media

Aplica el teorema de Chebyshev a cualquier distribución: calcula la proporción mínima de datos dentro de k desviaciones estándar de la media y los límites del intervalo.

Media (μ)

Desviación estándar (σ)

Número de desviaciones estándar (k)

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Cómo funciona

Proporción dentro de k desviaciones estándar ≥ 1 − 1 ÷ k² · Intervalo = μ ± kσ (para k > 1)

El teorema de Chebyshev (también escrito Chebyshov o Tchebycheff) garantiza una proporción mínima de datos cerca de la media para cualquier distribución, sin suponer que tenga forma de campana. Al menos 1 − 1 ÷ k² de los valores quedan a menos de k desviaciones estándar de la media. El precio de esa generalidad es que la cota es holgada: en la práctica, casi todas las distribuciones concentran bastantes más datos en el intervalo de lo que el teorema promete.

Ejemplo resuelto

Los tiempos de entrega de una paquetería tienen media 100 minutos y desviación estándar 15, y no sabemos qué forma tiene la distribución. Con k = 2, el intervalo es 100 ± 2 × 15, es decir, de 70 a 130 minutos. El teorema de Chebyshev garantiza que al menos 1 − 1 ÷ 2² = 75.00% de las entregas caen en ese rango, y que como mucho el 25.00% queda fuera.

Fuentes: Chebyshev’s inequality — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia el teorema de Chebyshev de la regla empírica?

La regla empírica (68-95-99.7) solo aplica a distribuciones normales y es bastante precisa. Chebyshev funciona con cualquier distribución, pero es más holgado: con k = 2 garantiza solo el 75%, frente al 95% de la regla empírica para datos normales.

¿Por qué no hay cota para k ≤ 1?

Porque la fórmula 1 − 1 ÷ k² da cero o un número negativo cuando k ≤ 1, así que el teorema solo promete «al menos 0%». Empieza a dar información cuando k es mayor que 1 y se vuelve más fuerte al aumentar k.

¿El teorema de Chebyshev da el porcentaje exacto?

No, da un mínimo. La proporción real dentro del intervalo suele ser mucho mayor; el teorema solo indica el peor caso posible, que ninguna distribución puede empeorar.

¿Qué porcentaje garantiza Chebyshev con k = 3?

Al menos 1 − 1 ÷ 9 = 88.9% de los datos quedan dentro de 3 desviaciones estándar de la media, sea cual sea la distribución.

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