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Calculadora de descomposición LU (A = LU y PA = LU)

Factoriza una matriz cuadrada en una triangular inferior L y una triangular superior U con fracciones exactas —Doolittle A = LU o pivoteo parcial PA = LU—, con la matriz de permutación y el determinante.

Matriz cuadrada A

Método

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Cómo funciona

A = LU (o PA = LU) · U: resultado de la eliminación gaussiana · lᵢₖ = (elemento que se anula) ÷ (pivote uₖₖ), lᵢᵢ = 1 · det(A) = (−1)^(intercambios) × u₁₁·u₂₂·…·uₙₙ

La descomposición LU guarda la eliminación de Gauss: U es la matriz triangular superior a la que se llega y L almacena, bajo una diagonal de unos, los multiplicadores usados (forma de Doolittle). Con A = LU, el sistema Ax = b se resuelve por sustitución hacia delante (Ly = b) y hacia atrás (Ux = y). Si aparece un pivote cero hay que intercambiar filas: el pivoteo parcial elige el pivote de mayor valor absoluto y da PA = LU, que siempre existe.

Ejemplo resuelto

A = [2 1 1; 4 −6 0; −2 7 2]: los multiplicadores son l₂₁ = 4/2 = 2 y l₃₁ = −2/2 = −1, que dejan las filas [0 −8 −2] y [0 8 3]; después l₃₂ = 8/(−8) = −1 deja [0 0 1]. Así L = [1 0 0; 2 1 0; −1 −1 1] y U = [2 1 1; 0 −8 −2; 0 0 1], y det(A) = 2·(−8)·1 = −16.

Fuentes: MIT OpenCourseWare 18.06 (Strang) — Factorization into A = LU · Wolfram MathWorld — LU Decomposition

Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve la descomposición LU?

Para resolver muchos sistemas Ax = b con la misma matriz A, calcular determinantes e inversas. Factorizar cuesta unas n³/3 operaciones una sola vez; cada nuevo término independiente cuesta solo unas n².

¿Toda matriz tiene descomposición LU?

No sin intercambiar filas: [0 1; 1 0] no la tiene. Con pivoteo parcial, toda matriz cuadrada admite una factorización PA = LU.

¿Qué diferencia hay entre Doolittle y Crout?

Doolittle pone los unos en la diagonal de L y Crout en la diagonal de U. Ambos describen la misma eliminación.

¿Cómo obtengo el determinante a partir de LU?

Multiplica la diagonal de U y cambia el signo una vez por cada intercambio de filas. Aquí 2 × (−8) × 1 = −16.

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