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Calculadora de Gauss-Jordan: forma escalonada reducida por filas paso a paso

Reduce cualquier matriz de hasta 8×8 a su forma escalonada reducida con fracciones exactas, cada operación de fila, el rango, las columnas pivote y la solución de un sistema aumentado.

Matriz (filas separadas por ;)

Tipo de matriz

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Cómo funciona

Operaciones de fila: intercambiar Fᵢ ↔ Fⱼ · escalar Fᵢ → Fᵢ ÷ pivote · eliminar Fₖ → Fₖ − c·Fᵢ · forma escalonada reducida: cada pivote vale 1, es el único elemento no nulo de su columna y los pivotes avanzan a la derecha fila tras fila

La eliminación de Gauss-Jordan usa las tres operaciones elementales de fila para llevar una matriz a su forma escalonada reducida por filas, que es única para cada matriz. Columna por columna elige un pivote no nulo, divide su fila para que el pivote valga 1 y anula todos los demás elementos de esa columna. El número de pivotes es el rango. En una matriz aumentada [A | b], un pivote en la última columna indica que el sistema es incompatible; si no, las columnas sin pivote son variables libres.

Ejemplo resuelto

Para el sistema 2x₁ + x₂ − x₃ = 8, −3x₁ − x₂ + 2x₃ = −11, −2x₁ + x₂ + 2x₃ = −3, al reducir la matriz aumentada se obtiene [1, 0, 0 | 2] [0, 1, 0 | 3] [0, 0, 1 | −1]: rango 3, pivotes en las columnas 1, 2 y 3, y la solución única x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = −1.

Fuentes: Gaussian elimination — Wikipedia · Row Echelon Form — Wolfram MathWorld

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre el método de Gauss y el de Gauss-Jordan?

Gauss (forma escalonada) solo necesita ceros debajo de cada pivote y luego se resuelve por sustitución hacia atrás. Gauss-Jordan (forma escalonada reducida) además deja cada pivote en 1 y ceros encima, así que la solución se lee directamente. La forma reducida es única; la escalonada no.

¿Cómo leo la solución en la forma reducida?

Cada fila con pivote da una variable. Si todas las columnas de variables tienen pivote, la última columna es la solución. Una fila [0 … 0 | 1] significa que no hay solución, y las columnas sin pivote son variables libres.

¿Cómo encuentro el rango de una matriz?

Redúcela y cuenta los pivotes (las filas no nulas de la forma reducida). En una matriz aumentada, el rango mostrado es el de la parte de coeficientes A.

¿Puedo usar fracciones o decimales?

Sí. Valores como 1/3 o 0.25 se convierten en fracciones exactas, así que la forma reducida no tiene errores de redondeo.

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