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Calculadora del rango de una matriz

Calcula el rango de cualquier matriz de hasta 10 × 10 por eliminación gaussiana exacta, con la forma escalonada, las columnas pivote, la nulidad y si tiene rango completo o es invertible.

Matriz

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Cómo funciona

rango(A) = número de pivotes (filas no nulas) en una forma escalonada de A · rango ≤ mín(m, n) · rango + nulidad = n (teorema del rango)

El rango es el número de filas —o, de forma equivalente, de columnas— linealmente independientes de una matriz. La eliminación de Gauss (intercambiar filas y restar múltiplos de una fila a otra) no cambia el rango, así que basta con llevar la matriz a forma escalonada y contar los pivotes. Se trabaja con fracciones exactas, sin errores de redondeo al decidir si una fila es nula. Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su rango es igual a su tamaño.

Ejemplo resuelto

Para [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]: restando 4 veces la fila 1 a la fila 2 y 7 veces la fila 1 a la fila 3 queda [1 2 3; 0 −3 −6; 0 −6 −12]; restando 2 veces la fila 2 a la fila 3 queda [1 2 3; 0 −3 −6; 0 0 0]. Hay dos pivotes, así que el rango es 2 y la nulidad es 3 − 2 = 1 (la matriz es singular).

Fuentes: MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (Strang) — Rank of a matrix · Wolfram MathWorld — Matrix Rank

Preguntas frecuentes

¿Qué indica el rango de una matriz?

Cuántas filas (o columnas) son realmente independientes. En un sistema Ax = b decide si hay una solución, ninguna o infinitas (teorema de Rouché–Frobenius).

¿El rango por filas es igual al rango por columnas?

Sí, siempre; es un teorema fundamental del álgebra lineal. Por eso una matriz de 3 × 5 tiene como máximo rango 3.

¿Cómo se calcula el rango con determinantes?

El rango es el orden del mayor menor (submatriz cuadrada) con determinante distinto de cero. Para matrices mayores de 3 × 3 el método de Gauss es mucho más rápido.

¿Qué es la nulidad?

La dimensión del núcleo: el número de variables libres de Ax = 0. Rango + nulidad = número de columnas.

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