Calculadora del teorema de la desigualdad triangular
Comprueba si tres longitudes pueden formar un triángulo con la desigualdad triangular, o halla el rango posible del tercer lado a partir de dos lados, además del tipo de triángulo y su área.
Cómo funciona
Tres longitudes a, b, c forman un triángulo ⇔ a + b > c, a + c > b y b + c > a (basta comprobar que los dos lados menores suman más que el mayor) · tercer lado x a partir de a y b: |a − b| < x < a + b
El teorema de la desigualdad triangular dice que la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado, porque el camino recto entre dos vértices es más corto que el rodeo por el tercer vértice. Si la suma es igual al tercer lado, el «triángulo» se aplasta en un segmento (degenerado). Reordenando las desigualdades se obtiene el rango de un tercer lado desconocido: estrictamente entre la diferencia y la suma de los otros dos (Euclides, Elementos I.20; Khan Academy, desigualdad del triángulo). Si el triángulo es válido, la calculadora además lo clasifica y halla su área con la fórmula de Herón.
Ejemplo resuelto
Lados 5, 7 y 10: 5 + 7 = 12 > 10, 5 + 10 = 15 > 7 y 7 + 10 = 17 > 5, así que sí se puede formar un triángulo. Es escaleno y, como 5² + 7² = 74 < 10² = 100, es obtusángulo. Perímetro 22; Herón: s = 11, área = √(11 · 6 · 4 · 1) = √264 ≈ 16.248077. Con solo los lados 5 y 7, el tercer lado debe cumplir 2 < x < 12.
Fuentes: Khan Academy — Triangle inequality theorem · Wolfram MathWorld — Triangle Inequality
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de la desigualdad triangular?
En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del lado restante.
¿3, 4 y 8 pueden ser los lados de un triángulo?
No. 3 + 4 = 7, que es menor que 8, así que los dos lados cortos no alcanzan a unirse.
¿Cómo se calcula el rango del tercer lado?
Resta y suma los dos lados conocidos: el tercer lado debe ser mayor que la diferencia y menor que la suma. Para 5 y 7: 2 < x < 12.
¿Hay que comprobar las tres desigualdades?
En la práctica solo una: si los dos lados más cortos suman más que el más largo, las otras dos se cumplen automáticamente.
¿Qué pasa si la suma es igual al tercer lado?
Se obtiene un triángulo degenerado: los tres puntos quedan alineados y el área es 0. La mayoría de los libros no lo considera un triángulo.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.