Calculadora de distribución gamma
Distribución gamma con forma k y escala θ o tasa β: probabilidad acumulada P(X ≤ x), cola superior, densidad, media, varianza, moda y mediana.
Cómo funciona
f(x) = x^(k−1)·e^(−x/θ) ÷ [Γ(k)·θ^k]; P(X ≤ x) = γ(k, x/θ) ÷ Γ(k) (función gamma incompleta inferior regularizada); media = kθ; varianza = kθ²; moda = (k − 1)θ si k ≥ 1; tasa β = 1/θ
La distribución gamma modela tiempos de espera hasta el k-ésimo evento de un proceso de Poisson, cantidades de lluvia, montos de reclamaciones de seguros y muchas otras cantidades positivas con asimetría a la derecha. Incluye como casos especiales la exponencial (k = 1), la de Erlang (k entero) y la chi cuadrado (θ = 2, k = ν/2). Las probabilidades se obtienen con la función gamma incompleta regularizada, como pgamma de R y gamma.cdf de SciPy.
Ejemplo resuelto
Con forma k = 2 y escala θ = 2 (media 4), P(X ≤ 3) = 0.4422, P(X > 3) = 0.5578 y la densidad en 3 es 0.1673; la mediana es 3.3567.
Fuentes: NIST/SEMATECH e-Handbook — Gamma distribution · SciPy — scipy.stats.gamma
Preguntas frecuentes
¿Escala o tasa?
Son recíprocas: tasa β = 1/θ. R y muchos libros usan la tasa (dgamma(x, shape, rate)); SciPy y Excel usan la escala. Elige la opción que corresponda.
¿Qué relación tiene la gamma con la exponencial y la chi cuadrado?
Con forma 1 es la distribución exponencial de media θ; con forma ν/2 y escala 2 es la chi cuadrado con ν grados de libertad.
¿Qué hace el parámetro de forma?
Una k pequeña da una curva muy asimétrica acumulada cerca de cero; al crecer k la distribución se vuelve más simétrica y se acerca a una normal de media kθ.
¿Puedo obtener la distribución de Erlang?
Sí: una Erlang es una gamma con forma k entera, el tiempo hasta la k-ésima llegada con tasa β.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.