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Calculadora de ecuaciones de cuarto grado (raíces reales y complejas)

Resuelve ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 y obtén las cuatro raíces, reales y complejas, con su multiplicidad, el número de raíces reales y la comprobación de Vieta (suma y producto).

a (coeficiente de x⁴)

b (coeficiente de x³)

c (coeficiente de x²)

d (coeficiente de x)

e (término independiente)

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Cómo funciona

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 · x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −b/a · x₁x₂x₃x₄ = e/a · bicuadrada (b = d = 0): u = x², au² + cu + e = 0

Por el teorema fundamental del álgebra, una ecuación de cuarto grado tiene exactamente cuatro raíces contando multiplicidades; las no reales aparecen en pares conjugados, así que hay 0, 2 o 4 raíces reales. Existe la fórmula cerrada de Ferrari, pero es muy larga, por eso la calculadora halla las cuatro raíces a la vez con el método de Durand–Kerner, las afina con Newton y agrupa las raíces repetidas. Las fórmulas de Vieta (suma −b/a, producto e/a) sirven para comprobar el resultado.

Ejemplo resuelto

x⁴ − 2x³ − 13x² + 14x + 24 = 0 se factoriza como (x + 3)(x + 1)(x − 2)(x − 4), así que las raíces son x = −3, −1, 2, 4. Comprobación: su suma es 2 = −(−2)/1 y su producto es 24 = 24/1.

Fuentes: Wolfram MathWorld — Quartic Equation · OpenStax Precalculus 2e — Zeros of Polynomial Functions

Preguntas frecuentes

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de cuarto grado?

Cuatro, contando multiplicidades y raíces complejas. El número de raíces reales es 4, 2 o 0, porque las complejas van en pares conjugados a ± bi.

¿Cómo se resuelve una ecuación bicuadrada como x⁴ − 5x² + 4 = 0?

Con el cambio u = x²: u² − 5u + 4 = 0 da u = 1 o u = 4, así que x = ±1 y x = ±2. La calculadora lo indica cuando b = d = 0.

¿Existe una fórmula general para el cuarto grado?

Sí: el método de Ferrari (1540) reduce la ecuación a una cúbica resolvente, pero la fórmula completa es larguísima. Los métodos numéricos dan las mismas raíces de forma mucho más sencilla.

¿Qué significa (×2) junto a una raíz?

Que es una raíz doble: la gráfica toca el eje x sin cruzarlo y el factor (x − r) aparece al cuadrado.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.