Calculadora de la esfera de Hill: esfera de influencia gravitatoria y órbitas estables de lunas
Calcula el radio de la esfera de Hill de un planeta, luna o exoplaneta a partir de su órbita y las dos masas, con excentricidad, los límites estables para lunas progradas y retrógradas (Domingos et al. 2006), la comprobación de cualquier distancia de satélite, cuerpos del sistema solar ya cargados y una tabla de referencia.
Cómo funciona
r_H ≈ a × (1 − e) × ∛( m ÷ 3M ) · Lunas progradas estables: a_sat ≲ 0.4895 × (1 − 1.0305 e − 0.2738 e_sat) × a ∛( m ÷ 3M ) · Lunas retrógradas estables: a_sat ≲ 0.9309 × (1 − 1.0764 e − 0.9812 e_sat) × a ∛( m ÷ 3M )
La esfera de Hill es la región alrededor de un planeta (o de una luna o un asteroide) donde su propia gravedad retiene a un satélite con más fuerza que la marea de la estrella a la que orbita. Sale del problema restringido de tres cuerpos: a la distancia r_H se equilibran la atracción del planeta, la marea de la estrella y el efecto de la propia órbita del planeta, y de ahí la fórmula con raíz cúbica. La distancia a la estrella cuenta completa, pero la masa solo como raíz cúbica, así que un planeta pequeño y lejano puede tener una esfera de Hill mayor que uno grande y cercano. Para una órbita excéntrica, el radio se toma en el punto de mayor acercamiento, a(1 − e), porque el satélite tiene que sobrevivir a cada paso. La esfera es un límite superior, no una garantía. Las simulaciones numéricas de Domingos, Winter y Yokoyama (2006) mostraron que las lunas progradas siguen ligadas hasta unos 0.49 radios de Hill si la órbita del planeta es circular, y las retrógradas hasta unos 0.93; ambos límites se reducen cuando la órbita del planeta o de la luna es más excéntrica. Por eso las lunas irregulares exteriores de Júpiter y Saturno son casi todas retrógradas. Las masas usan la relación de la UAI de 332,946 masas terrestres por masa solar. La fórmula supone que el cuerpo es mucho más ligero que su primario. Para dos estrellas o un sistema binario de masas parecidas, usa el lóbulo de Roche (fórmula de Eggleton).
Ejemplo resuelto
La Tierra orbita a 1 UA (149,597,871 km) con excentricidad 0.0167 y una masa de 1 ÷ 332,946 la del Sol. La raíz cúbica de (3.0035 × 10⁻⁶ ÷ 3) es 0.010004 y la distancia en el perihelio es 149,597,871 × (1 − 0.0167) = 147,099,586 km, así que el radio de Hill es de unos 1,471,566 km: 0.0098 UA o 231 radios terrestres. Las lunas progradas son estables hasta 0.4895 × (1 − 1.0305 × 0.0167) × 1,496,559 = 719,958 km (48.9% del radio de Hill) y las retrógradas hasta 1,368,103 km. La Luna, a 384,400 km, está al 26.1% del radio de Hill, muy dentro de ese límite.
Fuentes: Wikipedia: Hill sphere (formula and solar-system Hill radii) · Domingos, Winter & Yokoyama (2006), Stable satellites around extrasolar giant planets, MNRAS 373, 1227 (abstract with fitted limits)
Preguntas frecuentes
¿Qué tan grande es la esfera de Hill de la Tierra?
Unos 1.47 millones de km, cerca de 0.01 UA o 3.8 veces la distancia a la Luna. Las naves en los puntos L1 y L2 del sistema Sol-Tierra, a 1.5 millones de km, están justo en su borde.
¿En qué se diferencia la esfera de Hill del límite de Roche?
El límite de Roche es la frontera interior, donde las mareas del planeta despedazan a una luna; la esfera de Hill es la frontera exterior, donde la estrella se lleva a la luna. Los satélites orbitan entre ambas.
¿Por qué las lunas lejanas suelen ser retrógradas?
Porque las órbitas retrógradas siguen estables casi al doble de distancia (unos 0.93 radios de Hill frente a 0.49 en las progradas). Las lunas capturadas lejos de su planeta sobreviven sobre todo en órbitas retrógradas, como Febe en Saturno y la mayoría de las lunas exteriores de Júpiter.
¿Qué planeta tiene la esfera de Hill más grande?
Neptuno, con unos 115 millones de km, seguido de Urano y Saturno. Su distancia al Sol pesa más que la gran masa de Júpiter, porque la distancia cuenta completa y la masa solo como raíz cúbica.
¿La Luna tiene su propia esfera de Hill?
Sí. Respecto a la Tierra llega a unos 58,000 km, así que una nave que orbitara la Luna mucho más allá de esa distancia terminaría atraída por la Tierra.
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Mecánica celeste de libro de texto con supuestos simplificados (masas puntuales, problema restringido de tres cuerpos, sin otros cuerpos que perturben). La estabilidad real de un satélite depende de resonancias y de otros cuerpos; para investigación usa integraciones numéricas.