Calculadora de interpolación de Lagrange
Encuentra el polinomio interpolador de Lagrange que pasa por 2 a 10 puntos con fracciones exactas, evalúalo en cualquier x y mira el valor de cada polinomio base Lᵢ(x).
Cómo funciona
P(x) = Σᵢ yᵢ·Lᵢ(x), Lᵢ(x) = Πⱼ≠ᵢ (x − xⱼ)/(xᵢ − xⱼ) · grado ≤ n − 1 para n puntos
Por n puntos con valores de x distintos pasa exactamente un polinomio de grado como máximo n − 1. La forma de Lagrange lo escribe como una suma ponderada de polinomios base Lᵢ(x), cada uno igual a 1 en su propio xᵢ y 0 en los demás nodos, de modo que P(xᵢ) = yᵢ automáticamente. Al desarrollar la suma se obtiene la forma usual con coeficientes, que aquí se muestra con fracciones exactas.
Ejemplo resuelto
Por (1, 2), (2, 3) y (3, 6): L₁(2.5) = (2.5 − 2)(2.5 − 3)/((1 − 2)(1 − 3)) = −1/8, L₂(2.5) = 3/4 y L₃(2.5) = 3/8. Entonces P(2.5) = 2(−1/8) + 3(3/4) + 6(3/8) = 17/4 = 4.25, y el polinomio es P(x) = x² − 2x + 3.
Fuentes: Lagrange polynomial — Wikipedia · Lagrange Interpolating Polynomial — Wolfram MathWorld
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve la interpolación de Lagrange?
Para estimar valores entre datos conocidos, trazar una curva suave por mediciones o deducir fórmulas de integración y derivación numérica.
¿Por qué el polinomio oscila cuando uso muchos puntos?
Los polinomios de grado alto por puntos equiespaciados oscilan cerca de los extremos (fenómeno de Runge). Usa menos puntos cerca del x que te interesa o interpolación por tramos (splines).
¿Es lo mismo que el polinomio de diferencias divididas de Newton?
Sí: el polinomio interpolador es único, así que las formas de Lagrange y de Newton dan el mismo polinomio; solo cambia la manera de escribirlo.
¿Puedo extrapolar fuera del rango de los datos?
La calculadora evalúa cualquier x, pero extrapolar no es confiable: fuera de los nodos el polinomio puede alejarse mucho de la tendencia real.
Calculadoras relacionadas
Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.