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Calculadora de longitud de arco de una curva

Calcula la longitud de arco de la curva y = f(x) entre x = a y x = b con L = ∫√(1 + f′(x)²) dx, además de la distancia en línea recta entre los extremos y cuánto más larga es la curva.

f(x)

Desde x = a

Hasta x = b

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Cómo funciona

L = ∫ₐᵇ √(1 + [f′(x)]²) dx · f′ por diferencias centrales, integral por la regla de Simpson con 4,000 subintervalos · cuerda = √((b − a)² + (f(b) − f(a))²)

La longitud de arco suma pequeñas hipotenusas a lo largo de la curva: en un paso dx la curva sube f′(x)·dx, así que ese trozo mide √(1 + f′(x)²)·dx. Al integrar de a a b se obtiene la longitud total (OpenStax Cálculo Vol. 1 §6.4). La mayoría de estas integrales no tiene primitiva elemental, por eso la calculadora la evalúa numéricamente con una derivada por diferencias centrales y la regla de Simpson, con una precisión de unos seis decimales en curvas suaves.

Ejemplo resuelto

y = x² de x = 0 a x = 1: f′(x) = 2x, así que L = ∫₀¹ √(1 + 4x²) dx = √5/2 + ln(2 + √5)/4 ≈ 1.118034 + 0.360909 = 1.478943. La recta de (0, 0) a (1, 1) mide √2 = 1.414214, así que la curva es unas 1.045771 veces más larga que la cuerda.

Fuentes: OpenStax Calculus Vol. 1 — 6.4 Arc Length of a Curve and Surface Area · Paul’s Online Math Notes — Arc Length

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la longitud de arco?

Para y = f(x) en [a, b], L = ∫ de a a b de √(1 + (dy/dx)²) dx. Para una curva paramétrica es ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

¿Por qué la integral de longitud de arco es tan difícil a mano?

La raíz de 1 + f′(x)² casi nunca se simplifica, así que solo unas pocas curvas de libro (como y = x^(3/2) o cosh x) tienen resultados exactos. En los demás casos lo normal es la integración numérica.

¿La longitud de arco siempre es mayor que la recta?

Sí, salvo que la curva sea un segmento recto, en cuyo caso son iguales. El cociente que se muestra indica cuánto se curva.

¿Sirve para la longitud de arco de una circunferencia?

Para un arco de circunferencia usa la calculadora de longitud de arco con s = rθ. Esta herramienta es para la longitud de una gráfica y = f(x), como una parábola o una onda senoidal.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.