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Calculadora de volumen de sólidos de revolución (discos, arandelas y capas)

Calcula el volumen de un sólido de revolución: gira y = f(x), o la región entre f(x) y g(x), alrededor del eje x (discos o arandelas) o del eje y (capas cilíndricas) en [a, b].

Curva exterior f(x)

Curva interior g(x)

Desde x = a

Hasta x = b

Eje de giro

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Cómo funciona

Discos/arandelas (eje x): V = π ∫ₐᵇ [f(x)² − g(x)²] dx · Capas cilíndricas (eje y): V = 2π ∫ₐᵇ x·[f(x) − g(x)] dx

Al girar una región alrededor de un eje se genera un sólido. Si se corta perpendicularmente al eje x se obtienen discos de radio f(x) —o arandelas con un hueco de radio g(x)—, así que el volumen es π por la integral del radio exterior al cuadrado menos el interior al cuadrado. Para girar alrededor del eje y suele ser más cómodo el método de capas cilíndricas, de radio x y altura f(x) − g(x). La integral se evalúa con la regla de Simpson en 2,000 subintervalos.

Ejemplo resuelto

Al girar y = x² entre x = 0 y 2 alrededor del eje x: V = π ∫₀² (x²)² dx = π · x⁵/5 |₀² = 32π/5 = 6.4π ≈ 20.106193. Alrededor del eje y, el método de capas da 2π ∫₀² x · x² dx = 8π ≈ 25.132741.

Fuentes: OpenStax Calculus Volume 1 — 6.2 Determining Volumes by Slicing · OpenStax Calculus Volume 1 — 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells

Preguntas frecuentes

¿Cuándo uso arandelas en lugar de discos?

Cuando la región no toca el eje de giro y el sólido queda hueco. El área de cada arandela es π(R² − r²), con radio exterior R = f(x) y radio interior r = g(x).

¿Cuándo es más fácil el método de capas?

Cuando giras alrededor del eje y pero la curva está dada como y = f(x): con capas no hace falta despejar x en función de y.

¿Por qué aparece π en todos los resultados?

Porque cada corte es un círculo (área πr²) o una capa cilíndrica (longitud 2πx), así que π sale fuera de la integral. La calculadora muestra también el volumen como múltiplo de π.

¿Puedo girar alrededor de una recta como y = 2?

Sí, desplazando las funciones: alrededor de y = 2 los radios son f(x) − 2 y g(x) − 2, así que escribe f(x) − 2 y g(x) − 2 como curvas.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.