Calculadora de longitud de arco: arco, sector y cuerda de una circunferencia
Calcula la longitud de arco de una circunferencia con el radio o el diámetro y el ángulo central (en grados, radianes o gon), o a partir de la cuerda, la altura del arco, el área del sector o el propio arco. Incluye la forma exacta con π, el área del sector y del segmento, la cuerda, la flecha y el procedimiento paso a paso.
Cómo funciona
θ (radianes) = ángulo° × π ÷ 180 · arco s = r × θ · área del sector = ½ r²θ · cuerda c = 2r × sen(θ ÷ 2) · altura del arco h = r(1 − cos(θ ÷ 2)) · área del segmento = ½ r²(θ − sen θ) con la cuerda: θ = 2 arcsen(c ÷ 2r) · con cuerda y altura: r = c² ÷ 8h + h ÷ 2 · con el arco: θ = s ÷ r · con el área del sector: r = √(2A ÷ θ) o θ = 2A ÷ r²
Con el ángulo central en radianes, la longitud de arco es el radio por el ángulo: s = rθ, y por eso los radianes son tan prácticos. Puedes escribir el ángulo en grados, radianes o gon, y usar el diámetro si es lo que mediste. El sector circular (la rebanada) tiene un área de ½r²θ. La cuerda, el segmento recto entre los extremos del arco, sale del triángulo isósceles que forman los dos radios: c = 2r·sen(θ ÷ 2). La altura del arco, o flecha, es cuánto sobresale el arco por encima de la cuerda, y el segmento circular es el área entre la cuerda y el arco: el sector menos ese triángulo. También puedes calcular al revés. Con el radio y la cuerda, el ángulo es 2·arcsen(c ÷ 2r), y puedes elegir el arco menor o el mayor. Con la cuerda y la altura del arco, que es como se miden arcos de puertas, muros curvos o tubos doblados, el radio es c² ÷ 8h + h ÷ 2. La longitud de arco o el área del sector junto con el radio también dan el ángulo. Si el radio y el ángulo en grados son enteros, verás además el resultado exacto en función de π.
Ejemplo resuelto
Ana corta una rebanada de 60° de una pizza de 20 cm de radio. En radianes, θ = 60 × π ÷ 180 ≈ 1.047198. La orilla de su rebanada mide 20 × 1.047198 ≈ 20.9440 cm, exactamente 20π/3 cm. El área del sector es ½ × 400 × 1.047198 ≈ 209.4395 cm², la cuerda mide 2 × 20 × sen 30° = 20 cm exactos y la flecha es 20 × (1 − cos 30°) ≈ 2.6795 cm. Al revés, una cuerda de 20 cm con una flecha de 2.6795 cm da un radio de 400 ÷ 21.436 + 1.3397 ≈ 20 cm, es decir, el mismo arco de 60°.
Fuentes: Circular sector — Wikipedia · Circular segment — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Por qué hay que pasar el ángulo a radianes?
Porque la fórmula s = rθ solo funciona con θ en radianes. En grados se escribe s = 2πr × (ángulo ÷ 360), que es lo mismo con la conversión π ÷ 180 ya incluida. Con el menú de unidades puedes escribir el ángulo directamente en radianes o en gon.
¿Qué diferencia hay entre el arco y la cuerda?
El arco es la distancia curva sobre la circunferencia; la cuerda es el atajo en línea recta entre los mismos dos puntos. La cuerda siempre es más corta, y se parecen cada vez más a medida que el ángulo se acerca a cero.
¿Cómo calculo la longitud de arco sin el ángulo?
Con el radio y la cuerda: θ = 2·arcsen(c ÷ 2r) y luego s = rθ. Si solo tienes la cuerda y la altura del arco, primero halla el radio con r = c² ÷ 8h + h ÷ 2. Elige la opción correspondiente en «¿Qué datos tienes?» y la calculadora hace ambos pasos.
¿Cómo calculo el área del sector como fracción del círculo?
El sector ocupa del área del círculo la misma fracción que su ángulo ocupa de 360°. Un sector de 60° es 60 ÷ 360 = 1/6 de πr², que con radio 10 da 1/6 × 100π ≈ 52.36, igual que con ½r²θ.
¿Qué es el área del segmento circular?
Es el área entre la cuerda y el arco: el sector menos el triángulo que forman los dos radios con la cuerda, ½r²(θ − sen θ). Con radio 10 y 60° mide unos 9.06.
¿Qué es un arco mayor?
Dos puntos de una circunferencia la dividen en dos arcos. El más corto es el arco menor y el más largo, de más de 180°, el arco mayor. Los dos comparten la misma cuerda; con el radio y la cuerda puedes elegir cuál quieres.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.