Calculadora del modelo Lotka-Volterra: equilibrio, ciclo y simulación depredador-presa
Resuelve el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra: equilibrio de presas y depredadores, periodo del ciclo, tasas de cambio actuales y una simulación año por año.
Cómo funciona
dN/dt = rN − aNP · dP/dt = b·a·N·P − mP · Equilibrio: N* = m ÷ (a·b), P* = r ÷ a · Periodo de las oscilaciones pequeñas: T = 2π ÷ √(r·m)
Las ecuaciones de Lotka-Volterra son la descripción acoplada más sencilla de un cazador y su alimento. Las presas crecen de forma exponencial si nadie las caza y desaparecen en proporción a lo seguido que se topan con depredadores; los depredadores se multiplican según lo que atrapan y mueren a una tasa constante. El sistema tiene un único punto de equilibrio, pero cualquier desviación produce un ciclo cerrado: suben las presas, los depredadores las siguen y se pasan, las presas se desploman, los depredadores pasan hambre y las presas se recuperan. El pico de depredadores llega un cuarto de ciclo después del de presas, como en los registros históricos de linces y liebres. Las fórmulas del equilibrio encierran una paradoja famosa: cazar presas no las reduce a largo plazo, sino que reduce a los depredadores, porque el equilibrio de presas solo depende de los parámetros del depredador y viceversa.
Ejemplo resuelto
Ana modela conejos y zorros con r = 1.0, a = 0.1, b = 0.02 y m = 0.4. El equilibrio es N* = 0.4 ÷ (0.1 × 0.02) = 200 presas y P* = 1.0 ÷ 0.1 = 10 depredadores, y el ciclo dura unos 2π ÷ √0.4 ≈ 9.9 años. Si parte de 400 conejos y 15 zorros, las presas caen a 400 − 0.1 × 400 × 15 = −200 por año mientras los depredadores todavía suben a 0.02 × 0.1 × 400 × 15 − 0.4 × 15 = 6 por año: el pico de zorros está por llegar. En 20 años de simulación, las presas oscilan entre 57 y 486 y los depredadores entre 4.8 y 18.1, con el pico de zorros unos 2.5 años después del de conejos.
Preguntas frecuentes
¿Por qué las poblaciones nunca se estabilizan?
El modelo básico no tiene amortiguamiento: conserva una cantidad a lo largo de cada órbita, así que el tamaño del ciclo depende solo del punto de partida. Si agregas una capacidad de carga para la presa, el ciclo se amortigua; si agregas saciedad del depredador, puede desestabilizarse en un ciclo límite.
¿Cómo se estiman los parámetros?
r sale del crecimiento de la presa sin depredadores, m de la supervivencia de los depredadores sin alimento, a de las capturas por depredador según la densidad de presas y b de las crías de depredador por presa cazada. En la práctica se ajustan a series de tiempo, y los valores siempre son aproximados.
¿Qué es el punto de equilibrio en el modelo depredador-presa?
Es la combinación de poblaciones en la que ninguna cambia: N* = m ÷ (a·b) presas y P* = r ÷ a depredadores. Con r = 1, a = 0.1, b = 0.02 y m = 0.4 son 200 presas y 10 depredadores.
¿Por qué el pico de depredadores llega después del de presas?
Porque los depredadores solo se multiplican cuando ya hay mucha comida, y siguen creciendo mientras las presas empiezan a escasear. En el modelo, ese retraso es de aproximadamente un cuarto del periodo del ciclo.
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Son fórmulas de libro de texto de ecología, ciencias forestales y genética cuantitativa, con supuestos simplificados. Las constantes de campo (z, k, h², eficiencias) varían según el sistema: usa valores calibrados localmente para decisiones de manejo o de investigación.