Calculadora de probabilidad de al menos uno: 1 − (1 − p)ⁿ
Calcula la probabilidad de que un evento ocurra al menos una vez en n intentos independientes con la regla del complemento, P = 1 − (1 − p)ⁿ.
Cómo funciona
P(al menos uno) = 1 − (1 − p)ⁿ · (1 − p)ⁿ = probabilidad de que no ocurra ninguna vez
Calcularlo directamente, sumando la probabilidad de exactamente uno, exactamente dos y así sucesivamente, es muy laborioso, así que se usa el complemento. La única forma de no tener ningún éxito es fallar en todos los intentos, y eso tiene probabilidad (1 − p)ⁿ cuando los intentos son independientes. Si se lo restas a 1, obtienes la probabilidad de uno o más éxitos, que sube rápido al aumentar n aunque p sea pequeña.
Ejemplo resuelto
Luis encesta un tiro de media cancha el 20% de las veces y lo intenta 5 veces. La probabilidad de fallar todos es 0.8⁵ = 0.32768, así que la de encestar al menos uno es 1 − 0.32768 = 0.67232, o sea, 67.23%. En promedio espera encestar 5 × 0.20 = 1 tiro.
Fuentes: Complementary event — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Por qué se usa el complemento en lugar de sumar directamente?
Porque solo hay una forma de tener cero éxitos y muchas de tener uno o más. Calcular el caso de fallar todo y restarlo de 1 es mucho más sencillo y da el resultado exacto.
¿Los intentos tienen que ser independientes?
Sí. La fórmula supone que cada intento es independiente y tiene la misma probabilidad p. Si un intento influye en otro, necesitas un diagrama de árbol o probabilidades condicionales.
¿Cuántos intentos necesito para tener 99% de probabilidad de al menos un éxito?
Resuelve 1 − (1 − p)ⁿ ≥ 0.99, es decir, n ≥ ln(0.01) ÷ ln(1 − p). Con p = 20% salen unos 21 intentos.
¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6 en 4 tiros de un dado?
1 − (5/6)⁴ = 1 − 0.4823 = 0.5177, un poco más del 51.77%. Es el famoso problema del caballero de Méré.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.