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Calculadora de la regla de los signos de Descartes

Aplica la regla de los signos de Descartes a un polinomio: cuenta los cambios de signo de f(x) y f(−x), lista los números posibles de raíces positivas, negativas y complejas y compáralos con las reales.

Polinomio f(x)

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Cómo funciona

Raíces reales positivas = (cambios de signo de f(x)) o esa cantidad menos un número par · raíces reales negativas = (cambios de signo de f(−x)) o esa cantidad menos un número par · las raíces no reales vienen en pares conjugados: grado − positivas − negativas debe ser par · si hay raíces en 0, saca primero xᵏ como factor

La regla de los signos de Descartes acota el número de raíces reales positivas de un polinomio con coeficientes reales mediante los cambios de signo entre coeficientes no nulos consecutivos; el número real de raíces es esa cantidad o una menor en un número par. Al cambiar x por −x se invierten los signos de los términos de potencia impar, y la misma regla aplicada a f(−x) acota las raíces negativas. Como las raíces no reales vienen en pares conjugados, se obtiene una tabla corta de posibilidades (OpenStax Álgebra universitaria §5.5). La calculadora además halla las raíces numéricamente para que veas qué combinación ocurre de verdad.

Ejemplo resuelto

f(x) = x⁴ − 3x³ + 2x² + x − 5 tiene signos + − + + −, que cambian 3 veces, así que hay 3 o 1 raíces positivas. f(−x) = x⁴ + 3x³ + 2x² − x − 5 tiene signos + + + − −, 1 cambio, así que hay exactamente 1 raíz negativa. Las combinaciones posibles son (3, 1, 0) y (1, 1, 2). Numéricamente hay 1 raíz positiva (≈ 2.35), 1 negativa (x = −1) y 2 no reales.

Fuentes: OpenStax College Algebra 2e — 5.5 Zeros of Polynomial Functions · Wolfram MathWorld — Descartes’ Sign Rule

Preguntas frecuentes

¿Cómo se usa la regla de los signos de Descartes?

Ordena el polinomio por potencias decrecientes y cuenta cuántas veces cambian de signo los coeficientes no nulos consecutivos. Ese número, o ese número menos 2, 4, …, es la cantidad de raíces reales positivas. Repite con f(−x) para las negativas.

¿Por qué la cantidad baja de 2 en 2?

Porque las raíces no reales de un polinomio con coeficientes reales vienen en pares conjugados, así que las raíces reales «perdidas» desaparecen de dos en dos.

¿Un coeficiente cero cuenta como cambio de signo?

No. Se saltan los coeficientes nulos y solo se comparan los no nulos. Si el término independiente es 0, saca x como factor primero: x = 0 es raíz, pero no es positiva ni negativa.

¿Las raíces repetidas se cuentan por separado?

Sí. La regla cuenta las raíces con su multiplicidad, así que una raíz positiva doble cuenta como 2.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.