Resolver relaciones de recurrencia lineales — aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₋₂

Cómo funciona

aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₋₂ → ecuación característica r² − p·r − q = 0 · raíces distintas r₁, r₂: aₙ = α·r₁ⁿ + β·r₂ⁿ · raíz doble r: aₙ = (α + βn)·rⁿ · raíces complejas ρe^(±iθ): aₙ = ρⁿ(α cos nθ + β sen nθ) · α y β se obtienen de a₀ y a₁

Una recurrencia lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes se resuelve probando aₙ = rⁿ, lo que la convierte en la ecuación característica r² = p·r + q. Sus raíces dan la forma de la solución general: potencias de dos raíces distintas, n·rⁿ para una raíz doble, o una oscilación que crece o se amortigua para raíces complejas; las dos condiciones iniciales fijan las constantes α y β (Rosen, Matemática discreta y sus aplicaciones, §8.2). Si las raíces son racionales la fórmula cerrada es exacta; la tabla y el término n se calculan de forma exacta con la propia recurrencia.

Ejemplo resuelto

aₙ = 5aₙ₋₁ − 6aₙ₋₂ con a₀ = 1 y a₁ = 4. La ecuación característica r² − 5r + 6 = 0 tiene raíces 2 y 3, así que aₙ = α·2ⁿ + β·3ⁿ. De a₀: α + β = 1, y de a₁: 2α + 3β = 4, así que β = 2 y α = −1: aₙ = −2ⁿ + 2·3ⁿ. Entonces a₁₀ = −1,024 + 2 × 59,049 = 117,074.

Fuentes: Rosen — Discrete Mathematics and Its Applications, §8.2 Solving Linear Recurrence Relations · Wolfram MathWorld — Linear Recurrence Equation

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