Calculadora del teorema de De Moivre (potencias y raíces de números complejos)
Eleva un número complejo a + bi a la potencia n o calcula sus n raíces n-ésimas con el teorema de De Moivre: módulo, argumento, forma polar y cada raíz en forma binómica.
Cómo funciona
z = r(cos θ + i sen θ) · zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ) · raíces n-ésimas: w_k = r^(1/n)[cos((θ + 2πk)/n) + i sen((θ + 2πk)/n)], k = 0, 1, …, n − 1
Al escribir z en forma polar, con módulo r = √(a² + b²) y argumento θ, el teorema de De Moivre dice que elevar a la potencia n eleva el módulo a n y multiplica el ángulo por n. Al invertirlo se obtienen exactamente n raíces n-ésimas distintas: todas tienen módulo r^(1/n) y están separadas 360°/n sobre una circunferencia, formando un polígono regular.
Ejemplo resuelto
Raíces cúbicas de z = −8: r = 8 y θ = 180°, así que cada raíz tiene módulo 8^(1/3) = 2 y ángulos 60°, 180° y 300°. Eso da 2(cos 60° + i sen 60°) = 1 + 1.732051i, 2(cos 180° + i sen 180°) = −2 y 1 − 1.732051i. Raíces: 1 + 1.732051i; −2; 1 − 1.732051i.
Fuentes: OpenStax Precalculus 2e — 8.5 Polar Form of Complex Numbers · Wolfram MathWorld — de Moivre’s Identity
Preguntas frecuentes
¿Cuántas raíces n-ésimas tiene un número complejo?
Exactamente n (si z ≠ 0): 2 raíces cuadradas, 3 cúbicas, 4 cuartas, etc., repartidas de forma uniforme sobre una circunferencia.
¿Cómo paso a + bi a forma polar?
r = √(a² + b²) y θ = atan2(b, a), el ángulo en el cuadrante correcto. Entonces z = r(cos θ + i sen θ), que también se escribe r·cis θ, r_θ o r·e^(iθ).
¿Por qué las raíces cúbicas de −8 no son solo −2?
−2 es la única raíz cúbica real, pero en los complejos hay dos más, 1 ± √3·i, porque girar 120° mantiene el cubo igual a −8.
¿Cómo calculo (1 + i)¹⁰ rápidamente?
r = √2 y θ = 45°, así que (1 + i)¹⁰ = (√2)¹⁰(cos 450° + i sen 450°) = 32(cos 90° + i sen 90°) = 32i.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.