➗

Calculadora del triángulo de Pascal

Obtén cualquier fila del triángulo de Pascal hasta la fila 60 con números exactos, o el propio triángulo, junto con la suma de la fila 2ⁿ, el término central y los coeficientes binomiales C(n, k).

Número de fila n (la de arriba es la 0)

Mostrar

Cargando calculadora…

Cómo funciona

Término k de la fila n = C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) · cada número es la suma de los dos de arriba: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) · suma de la fila = 2ⁿ

El triángulo de Pascal (o de Tartaglia) empieza con un 1 en la fila 0, y cada número es la suma de los dos que tiene justo encima. La fila n contiene los coeficientes binomiales C(n, 0) … C(n, n), que son los coeficientes de (a + b)ⁿ y cuentan las formas de elegir k elementos de n. Las filas son simétricas, suman 2ⁿ y su valor máximo está en el centro. La calculadora usa aritmética entera exacta, así que incluso la fila 60 sale sin redondeos.

Ejemplo resuelto

La fila 6 es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1: por ejemplo 15 = 5 + 10 y 20 = 10 + 10 a partir de la fila 5 (1, 5, 10, 10, 5, 1). Tiene 7 números, suma 2⁶ = 64 y su término central C(6, 3) = 20 es el mayor. Por eso (a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶.

Fuentes: Wolfram MathWorld — Pascal’s Triangle · OpenStax College Algebra 2e — 9.6 Binomial Theorem

Preguntas frecuentes

¿Cómo saco una fila del triángulo de Pascal sin dibujarlo?

Usa C(n, k) = n!/(k!(n − k)!) o construye la fila de izquierda a derecha: empieza en 1 y multiplica por (n − k + 1)/k para cada término. Fila 6: 1, 6, 6·5/2 = 15, 15·4/3 = 20…

¿La primera fila es la 0 o la 1?

Por convenio, el 1 de arriba es la fila 0; así la fila n tiene n + 1 números y su segundo término es n.

¿Para qué sirve el triángulo de Pascal?

Para desarrollar binomios (a + b)ⁿ, contar combinaciones, calcular probabilidades al lanzar monedas (fila n ÷ 2ⁿ) y encontrar patrones como los números triangulares, las potencias de 11 o la sucesión de Fibonacci en sus diagonales.

¿Por qué cada fila suma una potencia de 2?

Porque al hacer a = b = 1 en (a + b)ⁿ se obtiene 2ⁿ; también es el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos.

Calculadoras relacionadas

Calculadora de coeficiente binomial

Calcula el coeficiente binomial C(n, k), o «n sobre k»: el número de formas de elegir k elementos de n sin importar el orden, junto con las permutaciones P(n, k).

Calculadora del binomio de Newton

Desarrolla (ax + b)ⁿ o (ax + by)ⁿ con el binomio de Newton: cada término con su coeficiente binomial, la fila del triángulo de Pascal, el término central y la suma de coeficientes.

Calculadora de combinaciones y permutaciones con repetición

Calcula nCr y nPr, y también las combinaciones y permutaciones con repetición, al elegir r elementos de un total de n. Las cuatro fórmulas en un solo lugar.

Calculadora de factorial

Calcula el factorial n! de cualquier número entero hasta 170 y descubre cuántas cifras tiene y en cuántos ceros termina. Con la fórmula y ejemplos explicados.

Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.