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Calculadora del binomio de Newton (desarrollo y triángulo de Pascal)

Desarrolla (ax + b)ⁿ o (ax + by)ⁿ con el binomio de Newton: cada término con su coeficiente binomial, la fila del triángulo de Pascal, el término central y la suma de coeficientes.

a (coeficiente de x)

b (segundo término)

Potencia n

Forma

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Cómo funciona

(ax + b)ⁿ = Σₖ C(n, k)·(ax)ⁿ⁻ᵏ·bᵏ, k = 0 … n · C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) = fila n del triángulo de Pascal · suma de coeficientes = (a + b)ⁿ

El binomio de Newton desarrolla la potencia de una expresión de dos términos sin tener que multiplicarla una y otra vez. El término k es C(n, k)·(ax)ⁿ⁻ᵏ·bᵏ, donde el coeficiente binomial C(n, k) es el número k de la fila n del triángulo de Pascal (cada número es la suma de los dos de arriba). Las potencias del primer término bajan de n a 0 mientras las del segundo suben de 0 a n, así que siempre hay n + 1 términos. Si sustituyes x = 1 ves que los coeficientes suman (a + b)ⁿ, una comprobación rápida de cualquier desarrollo.

Ejemplo resuelto

Desarrolla (2x − 3)⁴. La fila 4 del triángulo de Pascal es 1, 4, 6, 4, 1. Los términos son 1·(2x)⁴ = 16x⁴, 4·(2x)³·(−3) = −96x³, 6·(2x)²·9 = 216x², 4·(2x)·(−27) = −216x y 1·81 = 81, así que (2x − 3)⁴ = 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81. Comprobación: los coeficientes suman (2 − 3)⁴ = 1.

Fuentes: Binomial theorem — Wikipedia · Pascal’s triangle — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cómo encuentro un término concreto sin desarrollar todo?

Usa el término general T(k+1) = C(n, k)·(ax)ⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Para el término en x² de (2x − 3)⁴ necesitas n − k = 2, o sea k = 2: C(4, 2)·(2x)²·(−3)² = 6·4x²·9 = 216x². La tabla muestra cada término con su k.

¿Por qué los signos se alternan?

Cuando el segundo término es negativo, sus potencias impares son negativas y las pares positivas, así que los términos van +, −, +, −.

¿Cómo se construye el triángulo de Pascal?

Cada fila empieza y termina en 1, y cada número interior es la suma de los dos que tiene encima: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1… La fila n da los coeficientes de (x + y)ⁿ.

¿Puedo desarrollar (x + y)ⁿ?

Sí: elige la forma (ax + by)ⁿ y pon a = 1 y b = 1. El desarrollo mostrará las dos variables con sus potencias.

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