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Calculadora de valor esperado de dados y monedas: esperanza, varianza y desviación estándar

Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar de la suma al lanzar dados o monedas justos, con el mínimo y el máximo posibles.

Caras por dado

Número de dados lanzados

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Cómo funciona

E[un dado] = (c + 1) ÷ 2 · Var[un dado] = (c² − 1) ÷ 12 · E[suma] = n × E[un dado] · Var[suma] = n × Var[un dado] · σ = √Var[suma]

En un dado justo de c caras, todas las caras tienen la misma probabilidad, así que un solo dado da en promedio (c + 1) ÷ 2: 3.5 para el dado común de seis caras. Como la esperanza es aditiva, la suma esperada de n dados independientes es n veces ese valor. La varianza también se suma cuando los lanzamientos son independientes, de modo que la desviación estándar de la suma crece con la raíz cuadrada del número de dados; por eso las sumas de muchos dados se agrupan cerca de su media y forman la campana del teorema del límite central. Una moneda es el caso c = 2, con caras numeradas 1 y 2 y promedio 1.5.

Ejemplo resuelto

Con dos dados comunes de seis caras, cada uno promedia (6 + 1) ÷ 2 = 3.5, así que la suma esperada es 2 × 3.5 = 7. Cada dado tiene varianza (36 − 1) ÷ 12 = 2.9167, la suma tiene varianza 2 × 2.9167 = 5.8333 y la desviación estándar es √5.8333 = 2.4152. La suma va de 2 a 12. Con cuatro dados, la suma esperada sube a 14 y la desviación solo a 3.4157.

Fuentes: Expected value — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cómo se ve un volado como problema de valor esperado?

Piensa en águila y sol como las caras de un dado de 2 caras numeradas 1 y 2 (o 0 y 1). El valor esperado es (1 + 2) ÷ 2 = 1.5, y con una moneda 0/1 es 0.5: el resultado promedio por lanzamiento a la larga.

¿Por qué la suma esperada de dos dados es 7?

Porque el valor esperado de un dado es el punto medio de sus caras, 3.5, y las esperanzas se suman sin importar la forma de la distribución: 3.5 + 3.5 = 7. Además, 7 es la suma más probable con dos dados de seis caras.

¿La desviación estándar crece al lanzar más dados?

La varianza crece en proporción al número de dados, así que la desviación estándar crece con su raíz cuadrada. En relación con la suma total, en cambio, la dispersión se reduce: con muchos dados el resultado es proporcionalmente más predecible, que es la idea de la ley de los grandes números.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.