Calculadora de distancia de un punto a una recta
Calcula la distancia mínima de un punto (x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0, con el valor exacto, el pie de la perpendicular y si el punto pertenece a la recta.
Cómo funciona
d = |A·x₀ + B·y₀ + C| / √(A² + B²) · pie de la perpendicular: (x₀ − A·k, y₀ − B·k), k = (A·x₀ + B·y₀ + C)/(A² + B²)
El camino más corto de un punto a una recta es el segmento perpendicular. Al sustituir el punto en Ax + By + C se obtiene un valor proporcional a su distancia con signo, y al dividirlo entre la longitud del vector normal (A, B) se convierte en la distancia real. Si la recta está en la forma y = mx + b, reescríbela como mx − y + b = 0, de modo que A = m, B = −1 y C = b.
Ejemplo resuelto
Para la recta 3x + 4y − 10 = 0 y el punto (5, 6): 3·5 + 4·6 − 10 = 29 y √(3² + 4²) = 5, así que d = 29/5 = 5.8. El punto más cercano de la recta es (5 − 3·29/25, 6 − 4·29/25) = (1.52, 1.36).
Fuentes: Distance from a point to a line — Wikipedia · Point-Line Distance — Wolfram MathWorld
Preguntas frecuentes
¿Cómo uso y = mx + b con esta fórmula?
Pasa todo a un lado: mx − y + b = 0. Entonces A = m, B = −1 y C = b. Para y = 2x + 1 escribe A = 2, B = −1, C = 1.
¿Y si la recta es vertical u horizontal?
Una recta vertical x = k es 1·x + 0·y − k = 0, así que la distancia es |x₀ − k|; una horizontal y = k da |y₀ − k|. La fórmula general cubre ambos casos.
¿Qué significa una distancia de 0?
Que el punto cumple la ecuación, es decir, está sobre la recta.
¿Cómo calculo la distancia entre dos rectas paralelas?
Escríbelas como Ax + By + C₁ = 0 y Ax + By + C₂ = 0 con los mismos A y B; la distancia es |C₁ − C₂| / √(A² + B²). También puedes tomar un punto de una recta y usar esta calculadora con la otra.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.