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Función exponencial por dos puntos: encuentra y = A·e^(kx)

Encuentra la función exponencial y = A·e^(kx) que pasa por dos puntos: obtén A, la constante de crecimiento k, el porcentaje de cambio por unidad y predice y para cualquier x.

Punto 1: x

Punto 1: y (> 0)

Punto 2: x

Punto 2: y (> 0)

Predecir y en x =

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Cómo funciona

k = ln(y₂ ÷ y₁) ÷ (x₂ − x₁) · A = y₁ ÷ e^(k·x₁) · Cambio por unidad de x = e^k − 1

Dos puntos con y positiva bastan para definir una única curva exponencial y = A·e^(kx). El truco es sacar logaritmo: ln(y) es una recta en x, así que su pendiente es la constante de crecimiento k = ln(y₂ ÷ y₁) ÷ (x₂ − x₁), y al sustituir uno de los puntos despejas la amplitud A. Si k es positiva hay crecimiento; si es negativa, decaimiento. La calculadora también convierte k en un porcentaje de cambio por unidad de x (e^k − 1), que se entiende mejor.

Ejemplo resuelto

Un cultivo de bacterias tiene 500 células al inicio (x = 0) y 2,000 a las 4 horas. Entonces k = ln(2,000 ÷ 500) ÷ 4 = ln 4 ÷ 4 ≈ 0.3466 y A = 500, de modo que y = 500·e^(0.3466·x). Eso equivale a crecer 41.42% por hora, y a las 6 horas el modelo predice 500 × e^(2.0794) = 500 × 8 = 4,000 células.

Fuentes: Exponential growth — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cómo se encuentra una función exponencial con dos puntos?

Divide las dos y para eliminar A: y₂ ÷ y₁ = e^(k(x₂ − x₁)). Saca logaritmo natural para despejar k y luego sustituye un punto para obtener A = y₁ ÷ e^(k·x₁).

¿Por qué los dos valores de y deben ser positivos?

Con A positiva, el modelo y = A·e^(kx) siempre es positivo y nunca cruza el cero, así que no puede pasar por un punto con y cero o negativa. Si tus datos cambian de signo, la exponencial no es el modelo adecuado.

¿Qué significa la constante de crecimiento k?

Es la tasa de crecimiento continua. Si k es positiva la cantidad crece de forma exponencial y si es negativa decae. Con e^k − 1 la conviertes en el porcentaje de cambio por unidad de x.

¿Cómo se relaciona con el tiempo de duplicación?

Si hay crecimiento, el tiempo de duplicación es ln(2) ÷ k en las mismas unidades que x. Con k ≈ 0.3466 por hora, las bacterias del ejemplo se duplican cada 2 horas.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.