Probabilidades del bingo: línea o cartón lleno tras N bolas

Cómo funciona

Probabilidad de que j números dados hayan salido tras n de N bolas: P(j) = n!(N − j)! ÷ [(n − j)! N!] · cartón lleno = P(24) en el bingo de 75 bolas, P(15) en el de 90 · cualquier línea = inclusión–exclusión sobre las 12 líneas de un cartón de 75 bolas (centro libre) o las 3 filas de un cartón de 90: 3P(5) − 3P(10) + P(15) · varios cartones ≈ 1 − (1 − p)^cartones (cartones tratados como independientes) · bolas esperadas para cartón lleno = m(N + 1) ÷ (m + 1)

El bingo es una carrera por que salgan todos los números de una figura. Para un solo cartón la probabilidad es exacta: la de que un conjunto de j números haya salido tras n bolas sigue la distribución hipergeométrica, y la inclusión–exclusión combina las líneas de un cartón que se superponen (filas, columnas y diagonales que comparten números). Un cartón de 75 bolas necesita 24 números para llenarse y uno de 90 bolas 15 números, así que el cartón lleno suele requerir entre 70 y 85 bolas. Varios cartones se tratan como independientes, una ligera sobreestimación porque todos comparten el mismo sorteo.

Ejemplo resuelto

Bingo de 75 bolas, un cartón, 40 números cantados: cada una de las 12 líneas necesita 4 o 5 números concretos, y al combinarlas por inclusión–exclusión resulta una probabilidad de 44.56% de tener al menos una línea completa; en promedio un cartón necesita 41.4 bolas para cantar línea. El cartón lleno exige que los 24 números estén entre los 40 cantados, una probabilidad de apenas 2.44 × 10^-7% (alrededor de 1 entre 410 millones); en promedio hacen falta 73.0 bolas.

Fuentes: Wolfram MathWorld — Hypergeometric Distribution · Wizard of Odds — Bingo

Preguntas frecuentes