Calculadora de celda unitaria cúbica: arista, radio atómico, factor de empaquetamiento y densidad (CS, BCC, FCC y diamante)
Pasa del radio atómico a la arista en celdas CS, BCC, FCC y diamante, con átomos por celda, empaquetamiento y densidad, o la arista desde la densidad.
Cómo funciona
CS: a = 2r, Z = 1, FEA = π/6 = 52.36 % · BCC: a = 4r/√3, Z = 2, FEA = π√3/8 = 68.02 % · FCC: a = 4r/√2 = 2√2 r, Z = 4, FEA = π√2/6 = 74.05 % · diamante: a = 8r/√3, Z = 8, FEA = π√3/16 = 34.01 % · densidad ρ = Z × M ÷ (Nᴀ × a³) · a = ∛(Z × M ÷ (ρ × Nᴀ))
En un metal cúbico los átomos se tratan como esferas rígidas que se tocan en una dirección de la celda. En la cúbica simple se tocan a lo largo de la arista (a = 2r), en la centrada en el cuerpo a lo largo de la diagonal del cubo (a√3 = 4r), en la centrada en las caras a lo largo de la diagonal de la cara (a√2 = 4r) y en la tipo diamante a lo largo de un cuarto de la diagonal del cubo (a√3 = 8r). Cada geometría fija cuántos átomos pertenecen a una celda (1, 2, 4 u 8, contando ⅛ de cada átomo del vértice, ½ de cada átomo de cara y los interiores completos) y qué fracción del volumen ocupan. Escribe el radio para obtener la arista, la arista para obtener el radio o la densidad medida para volver a la arista con a = ∛(Z M ÷ ρ Nᴀ). Con la masa molar, la calculadora da la densidad, el volumen de la celda, los átomos por cm³, el volumen molar, la distancia entre vecinos más próximos y el radio del hueco intersticial más grande, además de una tabla que pone los mismos átomos en las cuatro celdas para comparar el empaquetamiento. Ninguna otra calculadora del sitio cubre celdas unitarias; para la difracción en estas celdas usa las calculadoras de índices de Miller y de la ley de Bragg. Los resultados suponen un cristal perfecto de un solo elemento con esferas rígidas.
Ejemplo resuelto
El cobre es FCC, con radio atómico de 1.28 Å y masa molar de 63.546 g/mol. Los átomos se tocan a lo largo de la diagonal de la cara, así que a = 2√2 × 1.28 = 3.6204 Å. El volumen de la celda es 3.6204³ = 47.453 ų = 4.7453 × 10⁻²³ cm³. Con 4 átomos por celda, ρ = 4 × 63.546 ÷ (6.02214 × 10²³ × 4.7453 × 10⁻²³) = 8.895 g/cm³, muy cerca de los 8.96 g/cm³ medidos. Los átomos llenan el 74.05 % de la celda y cada uno tiene 12 vecinos más próximos a 2.56 Å.
Fuentes: Omni Calculator: Cubic cell calculator (Al, Fe and Po examples) · Vedantu: Density of a unit cell (silver FCC example) · NIST: Periodic Table of the Elements, 2024 (atomic weights)
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la arista a partir del radio atómico?
Usa la dirección en la que se tocan los átomos: a = 2r en la cúbica simple, a = 4r ÷ √3 en BCC y a = 4r ÷ √2 en FCC. El hierro (BCC, r = 1.24 Å) tiene a = 4 × 1.24 ÷ √3 = 2.864 Å; el aluminio (FCC, r = 1.43 Å) tiene a = 4.045 Å.
¿Cuántos átomos hay en una celda unitaria?
Cuenta cada átomo del vértice como ⅛, cada átomo de cara como ½ y cada átomo del interior como 1. La cúbica simple tiene 8 × ⅛ = 1, la BCC 1 + 1 = 2, la FCC 1 + 6 × ½ = 4 y la tipo diamante suma 4 más en el interior, 8 en total.
¿Cómo se calcula la densidad de una celda unitaria?
Divide la masa de los átomos de la celda entre su volumen: ρ = Z × M ÷ (Nᴀ × a³), con a en centímetros. La plata (FCC, a = 408.7 pm, M = 108 g/mol) da 4 × 108 ÷ (6.022 × 10²³ × (4.087 × 10⁻⁸)³) = 10.51 g/cm³.
¿Cuál es el factor de empaquetamiento de FCC y BCC?
La FCC ocupa el 74.05 % del espacio, el máximo posible para esferas iguales (igual que la hexagonal compacta). La BCC ocupa el 68.02 %, la cúbica simple el 52.36 % y la tipo diamante solo el 34.01 %.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.