Calculadora de índices de Miller: (hkl) a partir de las intersecciones, distancia interplanar y ángulo de Bragg
Obtén los índices de Miller (hkl) de un plano cristalino a partir de sus intersecciones, su distancia interplanar d, el ángulo 2θ de Bragg y las extinciones.
Cómo funciona
Índices de Miller (h k l) = inversos de las intersecciones (x/a, y/b, z/c), sin fracciones y reducidos a los enteros más pequeños; una intersección ∞ da 0 · distancia interplanar cúbica d = a ÷ √(h² + k² + l²) · ley de Bragg λ = 2d sen θ · ángulo entre planos cos φ = (h₁h₂ + k₁k₂ + l₁l₂) ÷ (√(h₁² + k₁² + l₁²) √(h₂² + k₂² + l₂²))
Para nombrar un plano cristalino, escribe dónde corta los ejes x, y y z como múltiplos de las aristas de la celda (si el plano es paralelo a un eje, lo corta en ∞), saca los inversos y multiplica por el menor número que elimine todas las fracciones. Un plano que corta en ½, 1 y ∞ da los inversos 2, 1 y 0, así que es el (2 1 0). Una intersección negativa da un índice negativo, que se escribe con una barra encima. Si el plano pasa por el origen, primero mueve el origen a otro vértice; la calculadora te avisa cuando hace falta. También puedes partir de (h k l) para ver las intersecciones. En los cristales cúbicos la distancia entre planos (hkl) vecinos es d = a ÷ √(h² + k² + l²). Con la longitud de onda de los rayos X (Cu Kα por defecto) la calculadora aplica la ley de Bragg y da el ángulo de difracción 2θ. Además revisa la regla del factor de estructura de tu red: en BCC solo reflejan los planos con h + k + l par, en FCC h, k y l deben ser todos impares o todos pares, y en la red tipo diamante se exige además h + k + l = 4n cuando todos son pares. Si el plano está extinguido, muestra el primer orden superior permitido, y una tabla lista las primeras reflexiones que verías en un difractograma de polvo. La familia {hkl} y su multiplicidad cuentan los planos equivalentes por simetría. A diferencia de la calculadora de la ecuación de un plano en geometría, esta usa intersecciones cristalográficas y parámetros de red. Todas las fórmulas suponen una celda cúbica.
Ejemplo resuelto
Un plano del cobre (FCC, a = 3.615 Å) corta los ejes en ½, 1 y ∞. Los inversos son 2, 1 y 0, ya enteros, así que los índices de Miller son (2 1 0); la familia {2 1 0} tiene 24 planos equivalentes. h² + k² + l² = 5, de modo que d = 3.615 ÷ √5 = 1.6167 Å. Con rayos X de Cu Kα (λ = 1.5406 Å), θ = asen(1.5406 ÷ 3.2334) = 28.455°, así que 2θ = 56.91°. Pero en una red FCC 2, 1 y 0 mezclan pares e impares, así que esa reflexión no aparece; el primer orden permitido es el (4 2 0), con d = 0.8083 Å y 2θ = 144.71°. El plano forma 26.57° con el (1 0 0).
Fuentes: Omni Calculator: Miller indices calculator (a = 2 Å, (2 0 1) example) · King Saud University lecture notes: positions, directions and planes (worked intercept examples) · ConductScience: Miller indices d-spacing calculator
Preguntas frecuentes
¿Cómo se sacan los índices de Miller a partir de las intersecciones?
Escribe las intersecciones como fracciones de las aristas de la celda, saca los inversos y elimina las fracciones. Las intersecciones 3, 1 y ½ dan los inversos ⅓, 1 y 2; al multiplicar por 3 queda (1 3 6). Un eje que el plano nunca toca (∞) da 0.
¿Qué significa la barra sobre un índice de Miller?
Indica un índice negativo, que viene de un plano que corta ese eje del lado negativo. (1 1̄ 0) se lee «uno, menos uno, cero» y es lo mismo que (1 −1 0).
¿Qué es la distancia interplanar?
Es la distancia perpendicular entre planos paralelos vecinos de la misma familia. En un cristal cúbico d = a ÷ √(h² + k² + l²); en la sal común (NaCl), con a = 5.64 Å, la distancia del plano (111) es 5.64 ÷ √3 = 3.256 Å.
¿Por qué faltan algunas reflexiones en los cristales BCC y FCC?
Los átomos del centro del cuerpo o de las caras dispersan justo en contrafase con los de los vértices para ciertos planos, y esas reflexiones se anulan. En BCC falta la (100) pero aparecen la (200) y la (110); en FCC faltan la (100) y la (110) y aparecen la (111) y la (200).
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.