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Calculadora de distancia entre dos puntos en el espacio: distancia y punto medio en 3D

Calcula la distancia entre dos puntos en el espacio a partir de sus coordenadas (x, y, z), con el punto medio del segmento y las diferencias Δx, Δy y Δz.

x₁

y₁

z₁

x₂

y₂

z₂

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Cómo funciona

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) · Punto medio = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2, (z₁ + z₂) ÷ 2)

La fórmula de la distancia en el espacio es el teorema de Pitágoras aplicado dos veces: una en el plano de la base y otra para la altura. Por eso se parece a la distancia entre dos puntos del plano, solo que bajo la misma raíz cuadrada aparece un tercer término para el eje z. Se restan las coordenadas, se eleva al cuadrado cada diferencia (con lo que desaparece el signo), se suman las tres y se saca la raíz. El punto medio del segmento es simplemente el promedio de los dos puntos, coordenada por coordenada.

Ejemplo resuelto

Luis quiere la distancia del origen (0, 0, 0) al punto (2, 3, 6). Las diferencias son 2, 3 y 6, así que d = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 exactamente. El punto medio es ((0 + 2) ÷ 2, (0 + 3) ÷ 2, (0 + 6) ÷ 2) = (1, 1.5, 3). Si el segundo punto fuera (4, 3, 6), la distancia sería √61 ≈ 7.8102.

Fuentes: Euclidean distance — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el espacio?

Resta coordenada por coordenada, eleva al cuadrado cada diferencia, súmalas y saca la raíz: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Entre (0, 0, 0) y (2, 3, 6) la distancia es √49 = 7.

¿En qué se diferencia de la distancia en el plano?

Solo agrega un tercer término al cuadrado para el eje z: √(Δx² + Δy² + Δz²) en lugar de √(Δx² + Δy²). Geométricamente, una diagonal en el espacio siempre es más larga que su sombra sobre el piso.

¿Importa el orden de los puntos?

No. Cada diferencia se eleva al cuadrado, lo que borra el signo, así que intercambiar los puntos da la misma distancia. El punto medio tampoco cambia, porque la suma es conmutativa.

¿Para qué sirve el punto medio en 3D?

Es el centro exacto del segmento entre los dos puntos. Se usa para encontrar un punto de equilibrio, el centro de una esfera a partir de dos puntos opuestos o la mitad de una arista en modelado 3D y videojuegos.

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