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Calculadora de fracciones parciales paso a paso

Q: ¿Qué es el método de Heaviside (tapar el factor)?

Para un factor lineal no repetido (x − r), tapa ese factor en la fracción original y sustituye x = r en lo que queda. En (x + 5)/((x + 2)(x − 1)), al tapar (x − 1) y poner x = 1 sale 6/3 = 2, la constante de (x − 1).

Q: ¿Cómo se tratan los factores repetidos?

Un factor (x − r)ᵏ necesita k términos: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₖ/(x − r)ᵏ. Por ejemplo, 1/(x(x − 1)²) necesita A/x + B/(x − 1) + C/(x − 1)².

Q: ¿Y si el denominador tiene x² + 1?

Un cuadrático que no se factoriza con racionales lleva un numerador lineal: (Bx + C)/(x² + 1). Esta calculadora admite un factor cuadrático de ese tipo junto con cualquier cantidad de factores lineales racionales.

Q: ¿Por qué hay que dividir primero?

Las fracciones parciales solo funcionan con fracciones propias (grado del numerador menor que el del denominador). La división separa un polinomio y deja una fracción propia para descomponer.

Descompón una función racional N(x)/D(x) en fracciones parciales: factoriza el denominador, plantea los términos A/(x − r) (también repetidos y cuadráticos) y despeja las constantes exactas.

Coeficientes del numerador

Coeficientes del denominador

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Cómo funciona

N/D con grado N < grado D · cada factor (x − r) → A/(x − r) · factor repetido (x − r)ᵏ → A₁/(x − r) + … + Aₖ/(x − r)ᵏ · cuadrático irreducible q(x) → (Bx + C)/q(x) · constantes a partir de N(x) = Σ (constante × D(x)/factor)

La descomposición en fracciones parciales (o fracciones simples) separa una función racional en una suma de fracciones más sencillas; es el paso clave para integrar funciones racionales y para las transformadas inversas de Laplace. Si el grado del numerador no es menor que el del denominador, primero se hace la división de polinomios. Luego se factoriza el denominador (aquí con el teorema de la raíz racional): cada factor lineal lleva una constante, un factor repetido lleva un término por cada potencia y un cuadrático irreducible lleva un numerador lineal. Al multiplicar por el denominador e igualar coeficientes se obtiene un sistema lineal que se resuelve de forma exacta con fracciones.

Ejemplo resuelto

Descompón (x + 5)/(x² + x − 2). El denominador se factoriza como (x + 2)(x − 1), así que se plantea A/(x + 2) + B/(x − 1). Al multiplicar queda x + 5 = A(x − 1) + B(x + 2). Igualando coeficientes (o dando a x los valores 1 y −2) se obtiene A = −1 y B = 2, así que el resultado es −1/(x + 2) + 2/(x − 1).

Fuentes: Partial fraction decomposition — Wikipedia · Paul’s Online Notes — Partial fractions

Preguntas frecuentes

¿Qué es el método de Heaviside (tapar el factor)?

Para un factor lineal no repetido (x − r), tapa ese factor en la fracción original y sustituye x = r en lo que queda. En (x + 5)/((x + 2)(x − 1)), al tapar (x − 1) y poner x = 1 sale 6/3 = 2, la constante de (x − 1).

¿Cómo se tratan los factores repetidos?

Un factor (x − r)ᵏ necesita k términos: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₖ/(x − r)ᵏ. Por ejemplo, 1/(x(x − 1)²) necesita A/x + B/(x − 1) + C/(x − 1)².

¿Y si el denominador tiene x² + 1?

Un cuadrático que no se factoriza con racionales lleva un numerador lineal: (Bx + C)/(x² + 1). Esta calculadora admite un factor cuadrático de ese tipo junto con cualquier cantidad de factores lineales racionales.

¿Por qué hay que dividir primero?

Las fracciones parciales solo funcionan con fracciones propias (grado del numerador menor que el del denominador). La división separa un polinomio y deja una fracción propia para descomponer.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.