Calculadora de la función error: erf(x), erfc(x) y función error inversa

Cómo funciona

erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt · erfc(x) = 1 − erf(x) = (2/√π) ∫ₓ^∞ e^(−t²) dt · erf(−x) = −erf(x) · erfcx(x) = e^(x²)·erfc(x) · Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)] · erf⁻¹(y) = el x tal que erf(x) = y · erfc⁻¹(y) = erf⁻¹(1 − y)

La función error erf(x) es el área bajo la campana e^(−t²) entre 0 y x, escalada para que erf(∞) = 1. Va de −1 a 1, es impar (erf(−x) = −erf(x)) y erf(x) es la probabilidad de que una variable normal con media 0 y varianza ½ caiga dentro de ±x. La función error complementaria erfc(x) = 1 − erf(x) es la cola a partir de x: aparece en la conducción de calor y la difusión (la temperatura o la concentración en un sólido semiinfinito sigue erfc(x / 2√(αt))), en la tasa de error de bits y en la distribución normal, donde Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)]. Para |x| ≤ 2.5 la calculadora suma la serie 2/√π·e^(−x²)·Σ 2ⁿx^(2n+1)/(1·3·…·(2n+1)), en la que todos los términos son positivos y no se pierden cifras al restar; por encima de 2.5 usa la fracción continua de Laplace para erfc. Como trabaja con ln erfc, colas diminutas como erfc(10) = 2.088 × 10⁻⁴⁵ conservan todas sus cifras en lugar de redondearse a 0. Las inversas parten de la aproximación cerrada de Winitzki, se afinan con el método de Newton y el resultado se comprueba sustituyéndolo de nuevo. Si tienes una media, una desviación estándar y un valor, usa la calculadora de distribución normal; esta página sirve cuando una fórmula viene escrita directamente con erf, erfc o erf⁻¹, como en física, ingeniería y procesamiento de señales. Además verás la derivada, la función escalada erfcx y los valores z y Φ(z) equivalentes.

Ejemplo resuelto

Con el valor predeterminado x = 0.5: x² = 0.25 y e^(−0.25) = 0.77880078. La serie da erf(0.5) = 1.1283792 × 0.77880078 × (0.5 + 0.08333333 + 0.00833333 + …) = 0.5204998778, así que erfc(0.5) = 1 − 0.5204998778 = 0.4795001222. La derivada vale (2/√π)·e^(−0.25) = 0.8787825789, erfcx(0.5) = e^(0.25) × 0.4795001222 = 0.6156903442 y el valor normal equivalente es z = 0.5 × √2 = 0.7071067812, con Φ(z) = (1 + 0.5204998778)/2 = 0.7602499389.

Fuentes: NIST DLMF §7.2: Definitions of erf, erfc and their limits · Omni Calculator: Error function (modes and table of erf values) · Analyze Math: Error function calculator (erf and the normal CDF)

Preguntas frecuentes