Calculadora de la función gamma: Γ(x) para cualquier número real, con valores exactos en semienteros

Cómo funciona

Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x−1) e^(−t) dt (x > 0) · Γ(x + 1) = x·Γ(x) · Γ(n) = (n − 1)! · Γ(½) = √π · Γ(n + ½) = (2n)!/(4ⁿ n!)·√π · Γ(x)·Γ(1 − x) = π / sen(πx) · Lanczos: Γ(x) ≈ √(2π)·(x + g − ½)^(x − ½)·e^−(x + g − ½)·A_g(x)

La función gamma extiende el factorial a todos los números reales salvo 0 y los enteros negativos: para números enteros Γ(n) = (n − 1)!, así que Γ(5) = 4! = 24, y entre ellos es una curva suave. Su propiedad clave es la recurrencia Γ(x + 1) = x·Γ(x), que permite pasar de un argumento a sus vecinos; junto con Γ(½) = √π da valores exactos para todos los semienteros, como Γ(4.5) = (105/16)√π. Para negativos no enteros, Γ cambia de signo entre polo y polo, y la fórmula de reflexión Γ(x)·Γ(1 − x) = π/sen(πx) la relaciona con argumentos positivos. La calculadora evalúa Γ con la aproximación de Lanczos (g = 7, nueve coeficientes), precisa en unas 15 cifras significativas, y usa la reflexión por debajo de ½. A partir de x ≈ 171.6, Γ(x) ya no cabe en un número de coma flotante normal, así que trabaja con ln Γ(x) y muestra el resultado como m × 10ⁿ (por ejemplo, Γ(1000) = 4.02 × 10²⁵⁶⁴). Puedes escribir fracciones como 1/3. Además de Γ(x) verás ln|Γ(x)|, la recíproca 1/Γ(x), x! = Γ(x + 1), la función digamma ψ(x), la forma exacta con factorial o con √π cuando existe y una tabla de valores vecinos. La calculadora de factorial solo admite números enteros y la de distribución gamma calcula probabilidades de una distribución estadística; esta página es para la función Γ(x) en sí, tal como aparece en densidades de probabilidad, en física y en la función beta B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b).

Ejemplo resuelto

Con el valor predeterminado x = 4.5, aplica Γ(x + 1) = x·Γ(x) cuatro veces hasta llegar a 0.5: Γ(4.5) = 3.5 × 2.5 × 1.5 × 0.5 × Γ(0.5). El producto de los factores es 6.5625 y Γ(0.5) = √π = 1.772453851, así que Γ(4.5) = 6.5625 × 1.772453851 = 11.6317284, que es exactamente (105/16)√π. Además, ln Γ(4.5) = 2.453736571, 1/Γ(4.5) = 0.08597174606, 4.5! = Γ(5.5) = 52.34277778 y ψ(4.5) = 1.388870926.

Fuentes: NIST DLMF §5.4: Special values of the gamma function · Omni Calculator: Gamma function (Lanczos and Stirling, half-integer values) · Math is Fun: Gamma function (definition and recurrence) · Redcrab Software: Gamma function calculator (Γ(0.5), Γ(1.5), Γ(2.5))

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