Calculadora de ley de cosenos: resuelve triángulos LAL y LLL
Resuelve un triángulo con la ley de cosenos: el tercer lado a partir de dos lados y el ángulo comprendido (LAL) o los tres ángulos a partir de los tres lados (LLL), con área, perímetro, alturas, medianas, radios, tipo de triángulo y el procedimiento.
Cómo funciona
LAL: a = √(b² + c² − 2bc · cos A) · LLL: cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc, cos B = (a² + c² − b²) ÷ 2ac, C = 180° − A − B · Área = ½ · b · c · sen A · Radio circunscrito R = a ÷ (2 sen A) · Radio inscrito r = Área ÷ s, con s = (a + b + c) ÷ 2 · Altura hₐ = 2 · Área ÷ a · Mediana mₐ = ½√(2b² + 2c² − a²)
La ley de cosenos relaciona los tres lados de cualquier triángulo con uno de sus ángulos: a² = b² + c² − 2bc · cos A, donde A es el ángulo entre los lados b y c, y a es el lado opuesto. Si A mide 90°, el coseno vale cero y queda el teorema de Pitágoras; con un ángulo agudo el lado a sale más corto y con uno obtuso, más largo. La calculadora resuelve los dos casos que la ley permite de forma directa. Con dos lados y el ángulo comprendido (LAL) encuentra el tercer lado, luego despeja la misma ley para obtener el ángulo B y resta de 180° para el ángulo C. Con los tres lados (LLL) despeja cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc y hace lo mismo con B. El arcocoseno da un único ángulo entre 0° y 180°, así que no hay ambigüedad, a diferencia de la ley de senos. Los tres lados deben cumplir la desigualdad triangular: los dos más cortos tienen que sumar más que el más largo. Con el triángulo resuelto también obtienes el área (½ · b · c · sen A), el perímetro, los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, la altura y la mediana sobre cada lado, y si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Puedes escribir el ángulo en grados o en radianes.
Ejemplo resuelto
Con b = 8, c = 6 y un ángulo comprendido A = 60°: a² = 8² + 6² − 2 × 8 × 6 × cos 60° = 64 + 36 − 96 × 0.5 = 52, así que a = √52 = 7.2111. Luego cos B = (52 + 36 − 64) ÷ (2 × 7.2111 × 6) = 0.27735, por lo que B = 73.90° y C = 180° − 60° − 73.90° = 46.10°. El área es ½ × 8 × 6 × sen 60° = 20.7846 y el perímetro 21.2111; como todos los ángulos miden menos de 90° y los lados son distintos, es un triángulo acutángulo escaleno. Su radio circunscrito es 7.2111 ÷ (2 sen 60°) = 4.1633 y su radio inscrito, 20.7846 ÷ 10.6056 = 1.9598.
Fuentes: Wikipedia: Law of cosines · Math is Fun: The Law of Cosines (worked examples) · Omni Calculator: Law of cosines (SAS and SSS examples) · Calculator.net: Triangle calculator (medians, inradius, circumradius)
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se usa la ley de cosenos?
Cuando conoces dos lados y el ángulo que forman (LAL) y buscas el tercer lado, o cuando conoces los tres lados (LLL) y buscas los ángulos. Si conoces dos ángulos y un lado, o un lado, su ángulo opuesto y otro lado, lo habitual es usar la ley de senos.
¿Qué relación tiene con el teorema de Pitágoras?
Es el teorema de Pitágoras con un término de corrección. Cuando A = 90°, cos A = 0 y queda a² = b² + c². Con ángulos agudos el término extra acorta el lado; con ángulos obtusos lo alarga.
¿Cómo encuentro un ángulo si conozco los tres lados?
Despeja la ley: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc) y aplica el arcocoseno. Para lados de 4, 5 y 6, los ángulos miden 41.41°, 55.77° y 82.82°.
¿Por qué los ángulos se despejan con coseno y no con seno?
Porque el arcocoseno da un único ángulo entre 0° y 180°, justo el rango posible para un ángulo de un triángulo. El arcoseno no distingue un ángulo agudo de su suplementario (30° y 150° tienen el mismo seno), así que el coseno evita esa ambigüedad.
¿Qué es el ángulo comprendido?
Es el ángulo que queda entre los dos lados que conoces, en el vértice donde se unen. En esta calculadora el ángulo A está entre los lados b y c, y el lado a es el opuesto. Si el ángulo que tienes no está entre ellos, usa la ley de senos.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.