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Calculadora de suma de progresión geométrica: suma finita e infinita

Q: ¿Cuándo converge una serie geométrica infinita?

Solo cuando |r| < 1. En ese caso los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma se acerca a a₁ ÷ (1 − r). Si |r| ≥ 1, los términos no tienden a cero y la suma no tiene límite.

Q: ¿Qué pasa si la razón es exactamente 1?

Todos los términos valen lo mismo que el primero, así que la suma es simplemente a₁ × n. La fórmula con la fracción no se usa porque dividiría entre cero.

Q: ¿Por qué la fórmula divide entre r − 1?

Por el truco telescópico: Sₙ − r × Sₙ deja solo a₁ − a₁rⁿ, así que Sₙ × (1 − r) = a₁ × (1 − rⁿ). Al despejar Sₙ divides entre (1 − r), o entre (r − 1) cambiando los signos.

Q: ¿Qué tiene que ver la progresión geométrica con el interés compuesto?

Mucho: con interés compuesto el saldo se multiplica cada periodo por (1 + tasa), que es justamente la razón de una progresión geométrica. Por eso el ahorro con depósitos periódicos se calcula con la fórmula de la suma geométrica.

Suma los primeros n términos de una progresión geométrica con el primer término y la razón. Te da el término n-ésimo y la suma infinita cuando converge.

Primer término (a₁)

Razón común (r)

Número de términos (n)

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Cómo funciona

Término general: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹ · Suma finita: Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1), con r ≠ 1 · Suma infinita: S∞ = a₁ ÷ (1 − r), si |r| < 1

Una progresión geométrica avanza multiplicando siempre por la misma razón: 3, 6, 12, 24… Su suma tiene una fórmula cerrada, a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1), que sale de restar r × Sₙ a Sₙ para que se cancelen todos los términos intermedios. Si el valor absoluto de la razón es menor que 1, los términos se achican tan rápido que incluso infinitos de ellos suman una cantidad finita, a₁ ÷ (1 − r). Si no, la suma crece sin límite y se dice que la serie diverge.

Ejemplo resuelto

Primer término 3, razón 2 y 8 términos. El último término es 3 × 2⁷ = 384 y la suma es 3 × (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 255 = 765. Como la razón vale 2, la serie infinita diverge: los términos se duplican una y otra vez y nunca se estabilizan. En cambio, con a₁ = 1 y r = 0.5 la suma infinita sería 1 ÷ (1 − 0.5) = 2.

Fuentes: Geometric series — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cuándo converge una serie geométrica infinita?

Solo cuando |r| < 1. En ese caso los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma se acerca a a₁ ÷ (1 − r). Si |r| ≥ 1, los términos no tienden a cero y la suma no tiene límite.

¿Qué pasa si la razón es exactamente 1?

Todos los términos valen lo mismo que el primero, así que la suma es simplemente a₁ × n. La fórmula con la fracción no se usa porque dividiría entre cero.

¿Por qué la fórmula divide entre r − 1?

Por el truco telescópico: Sₙ − r × Sₙ deja solo a₁ − a₁rⁿ, así que Sₙ × (1 − r) = a₁ × (1 − rⁿ). Al despejar Sₙ divides entre (1 − r), o entre (r − 1) cambiando los signos.

¿Qué tiene que ver la progresión geométrica con el interés compuesto?

Mucho: con interés compuesto el saldo se multiplica cada periodo por (1 + tasa), que es justamente la razón de una progresión geométrica. Por eso el ahorro con depósitos periódicos se calcula con la fórmula de la suma geométrica.

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