Calculadora de triángulo 30-60-90: los tres lados a partir de uno
Con una sola medida de un triángulo 30-60-90 (cateto menor, cateto mayor, hipotenusa, altura, área o perímetro) obtén los tres lados en la proporción 1 : √3 : 2, en forma exacta con radicales y en decimales, además del área, el perímetro, la altura, los radios inscrito y circunscrito y el procedimiento paso a paso.
Cómo funciona
cateto menor : cateto mayor : hipotenusa = 1 : √3 : 2 · cateto mayor = cateto menor × √3 · hipotenusa = 2 × cateto menor · Área = ½ × cateto menor × cateto mayor = (√3 ÷ 4) × hipotenusa² · Perímetro = cateto menor × (3 + √3) · Altura sobre la hipotenusa = cateto menor × √3 ÷ 2 · Radio inscrito = cateto menor × (√3 − 1) ÷ 2 · Radio circunscrito = hipotenusa ÷ 2
El triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo notable: sus ángulos fijan la forma, así que los tres lados crecen juntos en la proporción exacta 1 : √3 : 2 (cateto menor, cateto mayor e hipotenusa). Con cualquier medida conocida basta para encontrar la escala: primero se obtiene el cateto menor s y luego se multiplica por √3 para el cateto mayor y por 2 para la hipotenusa. Desde el cateto mayor se divide entre √3 (al racionalizar, se multiplica por √3/3); desde la altura sobre la hipotenusa, s = 2h ÷ √3; desde el perímetro, s = P ÷ (3 + √3), y desde el área, s = √(2A ÷ √3). La calculadora conserva los resultados exactos cuando es posible —con un cateto mayor de 6 da un cateto menor de 2√3 y una hipotenusa de 4√3, no solo 3.4641 y 6.9282— y muestra los decimales con la precisión que elijas. También da la altura sobre la hipotenusa, los radios inscrito y circunscrito, los ángulos en grados y radianes, el seno, el coseno y la tangente de 30° y 60°, y todo el procedimiento, que termina con una comprobación por Pitágoras.
Ejemplo resuelto
Una escuadra de dibujo 30-60-90 tiene un cateto mayor de 6 cm. El cateto menor mide 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3.4641 cm y la hipotenusa, el doble: 4√3 ≈ 6.9282 cm. El área es ½ × 2√3 × 6 = 6√3 ≈ 10.3923 cm² y el perímetro, 2√3 + 6 + 4√3 = 6 + 6√3 ≈ 16.3923 cm. La altura sobre la hipotenusa mide 2√3 × √3 ÷ 2 = 3 cm. Comprobación: (2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48 = (4√3)².
Fuentes: Special right triangle — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Por qué los lados siempre están en proporción 1 : √3 : 2?
Porque los ángulos de 30°, 60° y 90° fijan la forma del triángulo, y solo cambia el tamaño. Si trazas la altura de un triángulo equilátero obtienes justo esta mitad: la hipotenusa es el doble del cateto menor, y el teorema de Pitágoras da el cateto mayor como √3 veces el menor.
¿Cuál es el lado más largo?
La hipotenusa, opuesta al ángulo de 90°, siempre es la mayor: mide 2 unidades en la proporción. El cateto mayor, opuesto a 60°, mide √3 ≈ 1.732 y el cateto menor, opuesto a 30°, es el más corto con 1.
¿Cómo obtengo el cateto menor a partir del cateto mayor?
Divide el cateto mayor entre √3. Para no dejar la raíz en el denominador, multiplica arriba y abajo por √3: con un cateto mayor de 5, el cateto menor es 5/√3 = 5√3/3 ≈ 2.8868 y la hipotenusa, el doble, 10√3/3 ≈ 5.7735.
¿Puedo partir del área o del perímetro?
Sí. Elige Área o Perímetro en «¿Qué dato conoces?». El perímetro es s(3 + √3), así que s = P ÷ (3 + √3) y el resultado sigue siendo exacto. El área es (√3 ÷ 2)s², así que s = √(2A ÷ √3), que casi nunca es un radical sencillo, por eso se muestran decimales.
¿Cuánto valen sen 30°, cos 30° y tan 30°?
Se leen de los lados 1 : √3 : 2: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 y tan 30° = 1/√3 = √3/3. Para 60° se intercambian: sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 y tan 60° = √3.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.