Calculadora de área de un cuadrilátero irregular: con lados, ángulos o diagonales

Cómo funciona

Bretschneider: Área = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd·cos²((A + C)/2)), s = (a + b + c + d)/2 · 4 lados + ángulo A: q² = a² + d² − 2ad·cos A, cos C = (b² + c² − q²)/(2bc), Área = ½ad·sen A + ½bc·sen C · lados + diagonales (Coolidge): Área = ¼√(4p²q² − (b² + d² − a² − c²)²) · diagonales: Área = ½pq·sen θ · Brahmagupta (cíclico): Área = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))

Con los cuatro lados no basta para fijar un cuadrilátero: un marco de cuatro barras se puede deformar en muchas figuras con áreas distintas. Hace falta una medida más, y esta calculadora acepta la que tengas. Con dos ángulos opuestos usa la fórmula de Bretschneider, que generaliza la fórmula de Herón de los triángulos. Con un ángulo divide la figura por la diagonal BD en dos triángulos, calcula la otra diagonal y los cuatro ángulos, y suma las áreas. Con las dos diagonales usa la forma de Coolidge con lados y diagonales; si solo tienes las diagonales y el ángulo en que se cruzan, el área es ½·p·q·sen θ. Si la figura es cíclica (sus vértices están sobre una circunferencia, como un rectángulo o un trapecio isósceles), la fórmula de Brahmagupta solo necesita los lados, y el resultado es el área máxima que pueden encerrar esos cuatro lados. Nombra los vértices A, B, C, D en orden alrededor de la figura: a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, el ángulo A está entre d y a, y C es el vértice opuesto. Seis medidas de una figura de cuatro lados son más de las necesarias, así que la calculadora comprueba si coinciden (por ejemplo, si los dos triángulos dan la misma diagonal) y te avisa si alguna no cuadra. Los resultados salen en tu unidad de longitud y además en metros cuadrados, pies cuadrados, yardas cuadradas, acres y hectáreas, útil para terrenos irregulares. Si tienes las coordenadas de los vértices, usa la calculadora de área de un polígono por coordenadas; para un trapecio, rombo, deltoide o paralelogramo, las calculadoras específicas son más sencillas.

Ejemplo resuelto

Un terreno tiene lados a = 120 m, b = 150 m, c = 80 m y d = 50 m, un ángulo recto en A y 60° en el vértice opuesto C. El semiperímetro es s = 400 ÷ 2 = 200, así que (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) = 80 × 50 × 120 × 150 = 72,000,000. Luego abcd·cos²((90° + 60°)/2) = 72,000,000 × cos²75° = 72,000,000 × 0.066987 = 4,823,085. El área es √(72,000,000 − 4,823,085) = √67,176,915 = 8,196.15 m² (0.82 hectáreas) y el perímetro es 400 m. Los dos ángulos dan la misma diagonal BD = 130 m, así que las medidas son coherentes.

Fuentes: Wikipedia: Bretschneider’s formula (trigonometric and Coolidge diagonal forms) · Omni Calculator: Quadrilateral area (350/120/280/140 ft example) · PlanetCalc: Area of a quadrilateral (sides + angles, sides + diagonals, Brahmagupta)

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