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Calculadora del extremo de un segmento: encuentra el otro extremo con el punto medio o una razón

Encuentra el otro extremo de un segmento a partir de un extremo y el punto medio, o de un punto que lo divide en la razón m:n, en 2D o 3D, con pasos, longitudes y ecuación de la recta.

Conozco

Dimensiones

Extremo A: x₁

Extremo A: y₁

Extremo A: z₁

Punto medio M: x

Punto medio M: y

Punto P del segmento: x

Punto P del segmento: y

Extremo B: x₂

Extremo B: y₂

Segundo punto: z (de M, P o B)

Razón AP : PB, primera parte (m)

Razón AP : PB, segunda parte (n)

Cargando calculadora…

Cómo funciona

Con el punto medio: x₂ = 2xₘ − x₁, y₂ = 2yₘ − y₁ (z₂ = 2zₘ − z₁) · con un punto P tal que AP : PB = m : n: B = A + (P − A) × (m + n) ÷ m · fórmula de la sección: P = (m × B + n × A) ÷ (m + n) · longitud AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

El punto medio es el promedio de los dos extremos: xₘ = (x₁ + x₂) ÷ 2. Si despejas x₂ obtienes x₂ = 2xₘ − x₁: duplicas el punto medio y le restas el extremo que conoces, coordenada por coordenada. Geométricamente, avanzas de A al punto medio y luego das el mismo paso otra vez. La idea sirve para cualquier punto del segmento: si P divide AB de modo que AP : PB = m : n, P está a m ÷ (m + n) del camino desde A, así que B = A + (P − A) × (m + n) ÷ m; para el punto medio, m = n y queda 2M − A. La calculadora trabaja en 2D o 3D y muestra cada coordenada con su procedimiento, la longitud del segmento y, en 2D, la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por A y B, además de una comprobación que recalcula el punto medio. El tercer modo hace el cálculo directo (la fórmula de la sección) cuando conoces los dos extremos y buscas el punto en una razón dada. La calculadora de punto medio hace lo contrario del primer modo: con los dos extremos te da el punto medio.

Ejemplo resuelto

Un extremo es A(−2, 5) y el punto medio es M(3, 1). x₂ = 2 × 3 − (−2) = 8 y y₂ = 2 × 1 − 5 = −3, así que B = (8, −3). Comprobación: ((−2 + 8) ÷ 2, (5 + (−3)) ÷ 2) = (3, 1). El segmento AB mide √(10² + (−8)²) = √164 = 12.8062, AM mide 6.4031, la pendiente es −8 ÷ 10 = −0.8 y la recta es y = −0.8x + 3.4.

Fuentes: Omni Calculator: Endpoint calculator (x₂ = 2x − x₁, (1, 3) and (3, 5) example) · Omni Calculator: Ratios of directed line segments (section formula, A(1, 2), B(4, 6), 2 : 3) · Best-Calculators: Endpoint calculator (half and full segment length)

Preguntas frecuentes

¿Cómo encuentro un extremo si conozco el punto medio?

Duplica cada coordenada del punto medio y réstale la coordenada del extremo conocido: x₂ = 2xₘ − x₁ y y₂ = 2yₘ − y₁. Con A(1, 3) y M(3, 5): x₂ = 6 − 1 = 5 y y₂ = 10 − 3 = 7, así que B = (5, 7).

¿Cuál es la fórmula del punto extremo?

Es la fórmula del punto medio despejada para el extremo que falta: (x₂, y₂) = (2xₘ − x₁, 2yₘ − y₁). En 3D se agrega z₂ = 2zₘ − z₁.

¿Cómo hallo el extremo si el punto no es el punto medio?

Si P divide AB en la razón AP : PB = m : n, entonces B = A + (P − A) × (m + n) ÷ m en cada coordenada. Con A(1, 2), P(2.2, 3.6) y 2 : 3, B = (1 + 1.2 × 2.5, 2 + 1.6 × 2.5) = (4, 6).

¿Cómo se encuentra el punto que divide un segmento en una razón?

Con la fórmula de la sección P = (m × B + n × A) ÷ (m + n). Con A(1, 2), B(4, 6) y 2 : 3, P = ((8 + 3) ÷ 5, (12 + 6) ÷ 5) = (2.2, 3.6).

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.