Calculadora de la recta tangente: ecuación de la tangente y la normal en x = a
Escribe una función f(x) y un punto x = a para obtener la ecuación de la recta tangente, la derivada y la pendiente, la recta normal, la forma punto-pendiente y la gráfica, paso a paso.
Cómo funciona
Recta tangente en x = a: y = f(a) + f′(a)(x − a) · pendiente m = f′(a) · ordenada al origen b = f(a) − m·a · recta normal: y = f(a) − (x − a) ÷ f′(a) · ángulo con el eje x = arctan(m)
La recta tangente toca la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)) y tiene, en ese punto, la misma pendiente que la curva. Esa pendiente es la derivada f′(a), así que la recta es y − f(a) = f′(a)(x − a) en la forma punto-pendiente, que se reacomoda como y = mx + b con b = f(a) − m·a. La recta normal pasa por el mismo punto y es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es −1 ÷ f′(a). Escribe la función como la escribirías en tu cuaderno: 3x^2 − 5x + 2, sen(x)^2, x·e^x, ln(x)/x o sqrt(x + 1). La calculadora deriva de forma simbólica con las reglas de la potencia, del producto, del cociente y de la cadena, te muestra f′(x), la evalúa en tu punto y escribe las dos rectas, el ángulo que forma la tangente con el eje x y dónde corta los ejes. También da f″(a): si es positiva, la curva queda por encima de la tangente cerca de a (la aproximación lineal se queda corta), y si es negativa, por debajo. La gráfica muestra f(x) y la tangente juntas. Si la derivada es infinita en a (por ejemplo, la raíz cúbica en 0), la tangente es la recta vertical x = a. Si las pendientes por la izquierda y por la derecha no coinciden, como en |x| en 0, no hay recta tangente y la calculadora te lo indica. Las funciones trigonométricas usan radianes. La calculadora de derivada en un punto solo estima la pendiente de una cúbica; esta acepta cualquier función y te da las ecuaciones completas de la tangente y de la normal.
Ejemplo resuelto
Para f(x) = x³ − 2x + 1 en x = 2: f(2) = 8 − 4 + 1 = 5, así que el punto es (2, 5). La derivada es f′(x) = 3x² − 2, de modo que la pendiente es f′(2) = 12 − 2 = 10. En forma punto-pendiente: y − 5 = 10(x − 2), que se simplifica a y = 10x − 15. La normal tiene pendiente −1 ÷ 10 = −0.1: y = −0.1x + 5.2. La tangente forma un ángulo de arctan(10) = 84.2894° con el eje x, corta el eje x en x = 1.5 y, como f″(2) = 12 > 0, la curva queda por encima de ella cerca del punto.
Fuentes: Paul’s Online Math Notes (Lamar University): Tangent lines and rates of change · eMathHelp: Tangent line calculator (y = x² at x = 1 example)
Preguntas frecuentes
¿Cómo se saca la ecuación de la recta tangente?
Calcula el punto (a, f(a)), saca la pendiente m = f′(a) con la derivada y escribe y − f(a) = m(x − a); luego simplifica. Para f(x) = x² en x = 1: el punto es (1, 1), f′(x) = 2x, así que m = 2 y la tangente es y − 1 = 2(x − 1), o sea y = 2x − 1.
¿Cuál es la diferencia entre la recta tangente y la recta normal?
Las dos pasan por el mismo punto de la curva. La tangente tiene la pendiente de la curva, m; la normal es perpendicular a ella, con pendiente −1/m. Si la tangente es horizontal, la normal es vertical (x = a).
¿Una recta tangente puede ser vertical?
Sí, cuando la derivada crece sin límite en el punto, como la raíz cúbica ∛x en x = 0. Entonces la tangente es la recta vertical x = a, que no tiene forma pendiente-ordenada al origen.
¿Cuándo una función no tiene recta tangente?
Cuando no es derivable en ese punto: un pico como |x| en 0, una cúspide, un salto o un punto donde f no está definida. Las pendientes por la izquierda y por la derecha no coinciden, así que ninguna recta encaja.
¿Para qué sirve la recta tangente?
Es la mejor aproximación lineal de la curva cerca del punto, llamada linealización: L(x) = f(a) + f′(a)(x − a). Por ejemplo, la tangente a 15 − 2x² en x = 1 es y = −4x + 17, que casi coincide con la curva para x cercanos a 1.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.