Calculadora de regresión exponencial: ajusta y = a·bˣ o y = a·eᵏˣ a tus datos

Cómo funciona

Modelo: y = a·bˣ = a·eᵏˣ, con b = eᵏ · Linealización: ln y = ln a + k·x · k = (nΣx·ln y − Σx·Σln y) ÷ (nΣx² − (Σx)²) · ln a = (Σln y − k·Σx) ÷ n · Crecimiento por unidad = (b − 1) × 100% · Tiempo de duplicación = ln 2 ÷ k (vida media = ln 2 ÷ |k| si k < 0) · R² = 1 − SCE ÷ SCT

La regresión exponencial encuentra la curva y = a·bˣ que mejor se ajusta a un conjunto de puntos cuyos valores de y crecen o disminuyen por un factor más o menos constante en cada paso de x: poblaciones, interés compuesto, conteos de bacterias, decaimiento radiactivo, enfriamiento o contagios. Al sacar el logaritmo natural, la curva se vuelve una recta, ln y = ln a + k·x, así que una regresión lineal por mínimos cuadrados sobre los puntos (x, ln y) da la pendiente k y la ordenada ln a. Luego a = e^(ordenada) y b = eᵏ. Es lo que hacen la línea de tendencia exponencial y la función ESTIMACION.LOGARITMICA (LOGEST) de Excel, el comando ExpReg de la TI-84 y la mayoría de las calculadoras en línea, así que tus coeficientes coincidirán. Obtienes las dos formas de la ecuación, la tasa de crecimiento o decrecimiento por unidad de x, el tiempo de duplicación o la vida media, una predicción para cualquier x, el R² del ajuste lineal de ln y (el que muestran las hojas de cálculo) y el R² sobre los valores originales de y, además de una tabla de residuos y una gráfica de los datos contra la curva. En Más opciones puedes cambiar a un ajuste no lineal por mínimos cuadrados sobre y, que da más peso a los valores grandes. A diferencia del ajuste exponencial con 2 puntos, aquí se usan todos tus datos; y a diferencia de la regresión lineal, se supone un cambio porcentual constante, no una cantidad constante. Todos los valores de y deben ser positivos.

Ejemplo resuelto

Con x = 1 a 9 e y = 3, 5, 7, 11, 19, 28, 41, 67, 95, los logaritmos naturales de y dan Σ ln y = 25.8006 y Σ x·ln y = 155.0797, con Σx = 45 y Σx² = 285. La pendiente es k = (9 × 155.0797 − 45 × 25.8006) ÷ (9 × 285 − 45²) = 0.43461 y ln a = (25.8006 − 0.43461 × 45) ÷ 9 = 0.69370, así que a = e^0.69370 = 2.0011 y b = e^0.43461 = 1.5444. El modelo es y = 2.0011 × 1.5444ˣ: y crece 54.44% en cada paso y se duplica cada 1.5949 unidades de x. El R² del ajuste lineal de ln y es 0.9984 (0.99579 sobre los valores originales) y la predicción para x = 10 es 154.435.

Fuentes: Pima Open: Modeling exponential relationships with regression (worked examples) · Statology: Exponential regression calculator (example data and equation) · Omni Calculator: Exponential regression (log-linear method) · Mathwords: Exponential regression (bacteria example)

Preguntas frecuentes