Calculadora de regresión polinomial: ajuste cúbico, cuártico y de mayor grado con R²

Cómo funciona

ŷ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙxⁿ · los coeficientes minimizan SSE = Σ(y − ŷ)², es decir a = (XᵀX)⁻¹Xᵀy · R² = 1 − SSE ÷ SST, con SST = Σ(y − ȳ)² · R² ajustado = 1 − (1 − R²)(N − 1) ÷ (N − n − 1) · error estándar = √(SSE ÷ (N − n − 1))

La regresión polinomial ajusta una curva y = a₀ + a₁x + … + aₙxⁿ a datos dispersos por mínimos cuadrados: elige los coeficientes que hacen mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos y la curva. Aunque la curva se dobla, el modelo es lineal en sus coeficientes, así que se resuelve como una regresión lineal múltiple en la que x, x², x³, … funcionan como predictores distintos. Para que las cuentas sean precisas con valores grandes de x o grados altos, la calculadora centra y reescala x antes de resolver con una descomposición QR, y luego regresa los coeficientes a potencias de x. R² es la parte de la variación de y que explica la curva. Subir el grado nunca baja R², por eso también se dan el R² ajustado y el error estándar, que penalizan los coeficientes de más, y una tabla que compara todos los grados con tus datos para ver dónde deja de valer la pena subir. Necesitas al menos grado + 1 valores distintos de x; con exactamente esos, la curva pasa por todos los puntos. A diferencia de las calculadoras de regresión lineal y de parábola por tres puntos del sitio, esta ajusta modelos cúbicos, cuárticos, quínticos y séxticos a cualquier cantidad de puntos. Fuera del rango de los datos los polinomios se comportan mal, así que cuidado con esas predicciones.

Ejemplo resuelto

Con los 10 puntos de ejemplo (x = 1 a 10; y = 2.7, 8.8, 14.0, 15.2, 14.1, 15.9, 16.3, 21.2, 27.2, 40.2), el ajuste cúbico es y = 0.196134x³ − 2.93432x² + 14.6801x − 9.54. Los errores al cuadrado suman SSE = 3.75401 frente a una variación total SST = 950.864, así que R² = 1 − 3.75401 ÷ 950.864 = 0.996052: la cúbica explica el 99.6% de la variación de y. El R² ajustado es 0.994078, el error estándar √(3.75401 ÷ 6) = 0.790992 y la curva estima y = 15.0694 en x = 5.5. La comparación de grados muestra por qué conviene la cúbica: una recta llega solo a R² = 0.82 y una cuadrática a 0.87, mientras que la cuártica casi no mejora R² (0.99615) y su R² ajustado baja a 0.99307.

Fuentes: Omni Calculator: Polynomial regression (model, least squares, matrix method) · Mathleaks / Pearson Algebra 2: cubic and quartic regression example · MetricGate: Polynomial regression worked example (mtcars mpg on hp) · Texas Instruments: R² for cubic and quartic regression

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